Elementarmathematik Beispiele

$2^{2 x} + 2^{x} - 90 = 0$

Schritt 1

Schreibe $2^{2 x}$ als ${(2^{x})}^{2}$ um.

${(2^{x})}^{2} + 2^{x} - 90 = 0$

Schritt 2

Es sei $u = 2^{x}$ . Ersetze $u$ für alle $2^{x}$ .

$u^{2} + u - 90 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $u^{2} + u - 90$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 90$ und deren Summe $1$ ist.

$- 9, 10$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 9) (u + 10) = 0$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $2^{x}$ .

$(2^{x} - 9) (2^{x} + 10) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2^{x} - 9 = 0$

$2^{x} + 10 = 0$

Schritt 6

Setze $2^{x} - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $2^{x} - 9$ gleich $0$ .

$2^{x} - 9 = 0$

Schritt 6.2

Löse $2^{x} - 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2^{x} = 9$

Schritt 6.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{x}) = \ln (9)$

Schritt 6.2.3

Zerlege $\ln (2^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (2) = \ln (9)$

Schritt 6.2.4

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (2) = \ln (9)$ durch $\ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (2) = \ln (9)$ durch $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (9)}{\ln (2)}$

Schritt 6.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 6.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (9)}{\ln (2)}$

Schritt 6.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (9)}{\ln (2)}$

Schritt 7

Setze $2^{x} + 10$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $2^{x} + 10$ gleich $0$ .

$2^{x} + 10 = 0$

Schritt 7.2

Löse $2^{x} + 10 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2^{x} = - 10$

Schritt 7.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{x}) = \ln (- 10)$

Schritt 7.2.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (- 10)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 7.2.4

Es gibt keine Lösung für $2^{x} = - 10$

Keine Lösung

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2^{x} - 9) (2^{x} + 10) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{\ln (9)}{\ln (2)}$