Elementarmathematik Beispiele

$4^{x} + 2^{x + 1} - 63 = 0$

Schritt 1

Schreibe $2^{x + 1}$ als $2^{x} \cdot 2^{1}$ um.

$4^{x} + 2^{x} \cdot 2 - 63 = 0$

Schritt 2

Schreibe $4^{x}$ als ${(2^{2})}^{x}$ um.

${(2^{2})}^{x} + 2^{x} \cdot 2 - 63 = 0$

Schritt 3

Schreibe ${(2^{2})}^{x}$ als ${(2^{x})}^{2}$ um.

${(2^{x})}^{2} + 2^{x} \cdot 2 - 63 = 0$

Schritt 4

Es sei $u = 2^{x}$ . Ersetze $u$ für alle $2^{x}$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Exponenten.

$u^{2} + u \cdot 2 - 63 = 0$

Schritt 4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$u^{2} + 2 u - 63 = 0$

Schritt 5

Faktorisiere $u^{2} + 2 u - 63$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 63$ und deren Summe $2$ ist.

$- 7, 9$

Schritt 5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 7) (u + 9) = 0$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $2^{x}$ .

$(2^{x} - 7) (2^{x} + 9) = 0$

Schritt 7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2^{x} - 7 = 0$

$2^{x} + 9 = 0$

Schritt 8

Setze $2^{x} - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $2^{x} - 7$ gleich $0$ .

$2^{x} - 7 = 0$

Schritt 8.2

Löse $2^{x} - 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2^{x} = 7$

Schritt 8.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{x}) = \ln (7)$

Schritt 8.2.3

Zerlege $\ln (2^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (2) = \ln (7)$

Schritt 8.2.4

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (2) = \ln (7)$ durch $\ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (2) = \ln (7)$ durch $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Schritt 8.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 8.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Schritt 8.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Schritt 9

Setze $2^{x} + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $2^{x} + 9$ gleich $0$ .

$2^{x} + 9 = 0$

Schritt 9.2

Löse $2^{x} + 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2^{x} = - 9$

Schritt 9.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{x}) = \ln (- 9)$

Schritt 9.2.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (- 9)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 9.2.4

Es gibt keine Lösung für $2^{x} = - 9$

Keine Lösung

Schritt 10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2^{x} - 7) (2^{x} + 9) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$