Elementarmathematik Beispiele

${(3 x - 1)}^{\frac{2}{3}} = 4$

Schritt 1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(3 x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 4 = 0$

Schritt 2

Schreibe ${(3 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ als ${({(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ um.

${({(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - 4 = 0$

Schritt 3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

${({(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - 2^{2} = 0$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ und $b = 2$ .

$({(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 2) ({(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$

${(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Schritt 6

Setze ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 2$ gleich $0$ .

${(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$

Schritt 6.2

Löse ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} = - 2$

Schritt 6.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 2)}^{3}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.3.1.1

Vereinfache ${({(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{3}$

Schritt 6.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{3}$

Schritt 6.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 x - 1)}^{1} = {(- 2)}^{3}$

Schritt 6.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$3 x - 1 = {(- 2)}^{3}$

Schritt 6.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.2.1

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$3 x - 1 = - 8$

Schritt 6.2.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.4.1.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 8 + 1$

Schritt 6.2.4.1.2

Addiere $- 8$ und $1$ .

$3 x = - 7$

Schritt 6.2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 7$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 7$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 7}{3}$

Schritt 6.2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 7}{3}$

Schritt 6.2.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 7}{3}$

Schritt 6.2.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.4.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{7}{3}$

Schritt 7

Setze ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2$ gleich $0$ .

${(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Schritt 7.2

Löse ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

${(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} = 2$

Schritt 7.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 7.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.3.1.1

Vereinfache ${({(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 7.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 7.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Schritt 7.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Schritt 7.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 x - 1)}^{1} = 2^{3}$

Schritt 7.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$3 x - 1 = 2^{3}$

Schritt 7.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.2.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$3 x - 1 = 8$

Schritt 7.2.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.4.1.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 8 + 1$

Schritt 7.2.4.1.2

Addiere $8$ und $1$ .

$3 x = 9$

Schritt 7.2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 9$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 9$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{9}{3}$

Schritt 7.2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{9}{3}$

Schritt 7.2.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{9}{3}$

Schritt 7.2.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.4.2.3.1

Dividiere $9$ durch $3$ .

$x = 3$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $({(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 2) ({(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{7}{3}, 3$