Elementarmathematik Beispiele

${(m^{2} - 1)}^{2} - 11 (m^{2} - 1) + 24 = 0$

Schritt 1

Es sei $u = m^{2} - 1$ . Ersetze $u$ für alle $m^{2} - 1$ .

$u^{2} - 11 u + 24 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $u^{2} - 11 u + 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $24$ und deren Summe $- 11$ ist.

$- 8, - 3$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 8) (u - 3) = 0$

Schritt 3

Ersetze alle $u$ durch $m^{2} - 1$ .

$(m^{2} - 1 - 8) (m^{2} - 1 - 3) = 0$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $8$ von $- 1$ .

$(m^{2} - 9) (m^{2} - 1 - 3) = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$(m^{2} - 9) (m^{2} - 4) = 0$

Schritt 5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$(m^{2} - 3^{2}) (m^{2} - 4) = 0$

Schritt 6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = m$ und $b = 3$ .

$(m + 3) (m - 3) (m^{2} - 4) = 0$

Schritt 7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(m + 3) (m - 3) (m^{2} - 2^{2}) = 0$

Schritt 8

Faktorisiere.

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Schritt 8.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = m$ und $b = 2$ .

$(m + 3) (m - 3) ((m + 2) (m - 2)) = 0$

Schritt 8.2

Entferne unnötige Klammern.

$(m + 3) (m - 3) (m + 2) (m - 2) = 0$

Schritt 9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$m + 3 = 0$

$m - 3 = 0$

$m + 2 = 0$

$m - 2 = 0$

Schritt 10

Setze $m + 3$ gleich $0$ und löse nach $m$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $m + 3$ gleich $0$ .

$m + 3 = 0$

Schritt 10.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$m = - 3$

Schritt 11

Setze $m - 3$ gleich $0$ und löse nach $m$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $m - 3$ gleich $0$ .

$m - 3 = 0$

Schritt 11.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$m = 3$

Schritt 12

Setze $m + 2$ gleich $0$ und löse nach $m$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $m + 2$ gleich $0$ .

$m + 2 = 0$

Schritt 12.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$m = - 2$

Schritt 13

Setze $m - 2$ gleich $0$ und löse nach $m$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $m - 2$ gleich $0$ .

$m - 2 = 0$

Schritt 13.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$m = 2$

Schritt 14

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(m + 3) (m - 3) (m + 2) (m - 2) = 0$ wahr machen.

$m = - 3, 3, - 2, 2$