Elementarmathematik Beispiele

$\frac{(\frac{4}{x}) x^{4} - 4 x^{3} (4 \ln (x))}{x^{8}} = 0$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $(\frac{4}{x}) x^{4} - 4 x^{3} (4 \ln (x))$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $(\frac{4}{x}) x^{4}$ heraus.

$\frac{x^{3} (\frac{4}{x} \cdot x) - 4 x^{3} (4 \ln (x))}{x^{8}} = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 4 x^{3} (4 \ln (x))$ heraus.

$\frac{x^{3} (\frac{4}{x} \cdot x) + x^{3} (- 4 (4 \ln (x)))}{x^{8}} = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} (\frac{4}{x} x) + x^{3} (- 4 (4 \ln (x)))$ heraus.

$\frac{x^{3} (\frac{4}{x} \cdot x - 4 (4 \ln (x)))}{x^{8}} = 0$

Schritt 2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} (\frac{4}{x} \cdot x - 4 (4 \ln (x)))}{x^{8}} = 0$

Schritt 2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{3} (4 - 4 (4 \ln (x)))}{x^{8}} = 0$

Schritt 3

Vereinfache $4 \ln (x)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{x^{3} (4 - 4 \ln (x^{4}))}{x^{8}} = 0$

Schritt 4

Vereinfache $- 4 \ln (x^{4})$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{x^{3} (4 - \ln ({(x^{4})}^{4}))}{x^{8}} = 0$

Schritt 5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{4}$ .

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Schritt 5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} (4 - \ln (x^{4 \cdot 4}))}{x^{8}} = 0$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{x^{3} (4 - \ln (x^{16}))}{x^{8}} = 0$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck $\frac{x^{3} (4 - \ln (x^{16}))}{x^{8}}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{8}$ heraus.

$\frac{x^{3} (4 - \ln (x^{16}))}{x^{3} x^{5}} = 0$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} (4 - \ln (x^{16}))}{x^{3} x^{5}} = 0$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 - \ln (x^{16})}{x^{5}} = 0$

Schritt 7

Setze den Zähler gleich Null.

$4 - \ln (x^{16}) = 0$

Schritt 8

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \ln (x^{16}) = - 4$

Schritt 8.2

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (x^{16}) = - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (x^{16}) = - 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln (x^{16})}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln (x^{16})}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 8.2.2.2

Dividiere $\ln (x^{16})$ durch $1$ .

$\ln (x^{16}) = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$\ln (x^{16}) = 4$

Schritt 8.3

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x^{16})} = e^{4}$

Schritt 8.4

Schreibe $\ln (x^{16}) = 4$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{4} = x^{16}$

Schritt 8.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.5.1

Schreibe die Gleichung als $x^{16} = e^{4}$ um.

$x^{16} = e^{4}$

Schritt 8.5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[16]{e^{4}}$

Schritt 8.5.3

Vereinfache $\pm \sqrt[16]{e^{4}}$ .

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Schritt 8.5.3.1

Schreibe $\sqrt[16]{e^{4}}$ als $\sqrt[4]{\sqrt[4]{e^{4}}}$ um.

$x = \pm \sqrt[4]{\sqrt[4]{e^{4}}}$

Schritt 8.5.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \sqrt[4]{e}$

Schritt 8.5.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 8.5.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt[4]{e}$

Schritt 8.5.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt[4]{e}$

Schritt 8.5.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt[4]{e}, - \sqrt[4]{e}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \sqrt[4]{e}, - \sqrt[4]{e}$

Dezimalform:

$x = 1.28402541 \dots, - 1.28402541 \dots$