Elementarmathematik Beispiele

$(x^{2} + 10 x + 25) (x^{2} - 10 x + 25) - 49 = 0$

Schritt 1

Schreibe $(x^{2} + 10 x + 25) (x^{2} - 10 x + 25)$ als ${((x + 5) (x - 5))}^{2}$ um.

${((x + 5) (x - 5))}^{2} - 49 = 0$

Schritt 2

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

${((x + 5) (x - 5))}^{2} - 7^{2} = 0$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = (x + 5) (x - 5)$ und $b = 7$ .

$((x + 5) (x - 5) + 7) ((x + 5) (x - 5) - 7) = 0$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Multipliziere $(x + 5) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x (x - 5) + 5 (x - 5) + 7) ((x + 5) (x - 5) - 7) = 0$

Schritt 4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5) + 7) ((x + 5) (x - 5) - 7) = 0$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5 + 7) ((x + 5) (x - 5) - 7) = 0$

Schritt 4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ .

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Schritt 4.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 5$ und $5 x$ neu an.

$(x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5 + 7) ((x + 5) (x - 5) - 7) = 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 5 x$ und $5 x$ .

$(x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5 + 7) ((x + 5) (x - 5) - 7) = 0$

Schritt 4.2.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$(x \cdot x + 5 \cdot - 5 + 7) ((x + 5) (x - 5) - 7) = 0$

Schritt 4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x^{2} + 5 \cdot - 5 + 7) ((x + 5) (x - 5) - 7) = 0$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 5$ .

$(x^{2} - 25 + 7) ((x + 5) (x - 5) - 7) = 0$

Schritt 4.4

Addiere $- 25$ und $7$ .

$(x^{2} - 18) ((x + 5) (x - 5) - 7) = 0$

Schritt 4.5

Multipliziere $(x + 5) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} - 18) (x (x - 5) + 5 (x - 5) - 7) = 0$

Schritt 4.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} - 18) (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5) - 7) = 0$

Schritt 4.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} - 18) (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5 - 7) = 0$

Schritt 4.6

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ .

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Schritt 4.6.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 5$ und $5 x$ neu an.

$(x^{2} - 18) (x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5 - 7) = 0$

Schritt 4.6.2

Addiere $- 5 x$ und $5 x$ .

$(x^{2} - 18) (x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5 - 7) = 0$

Schritt 4.6.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$(x^{2} - 18) (x \cdot x + 5 \cdot - 5 - 7) = 0$

Schritt 4.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x^{2} - 18) (x^{2} + 5 \cdot - 5 - 7) = 0$

Schritt 4.7.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 5$ .

$(x^{2} - 18) (x^{2} - 25 - 7) = 0$

Schritt 4.8

Subtrahiere $7$ von $- 25$ .

$(x^{2} - 18) (x^{2} - 32) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} - 18 = 0$

$x^{2} - 32 = 0$

Schritt 6

Setze $x^{2} - 18$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x^{2} - 18$ gleich $0$ .

$x^{2} - 18 = 0$

Schritt 6.2

Löse $x^{2} - 18 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $18$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 18$

Schritt 6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{18}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{18}$ .

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Schritt 6.2.3.1

Schreibe $18$ als $3^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 6.2.3.1.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$x = \pm \sqrt{9 (2)}$

Schritt 6.2.3.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Schritt 6.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm 3 \sqrt{2}$

Schritt 6.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3 \sqrt{2}$

Schritt 6.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3 \sqrt{2}$

Schritt 6.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}$

Schritt 7

Setze $x^{2} - 32$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x^{2} - 32$ gleich $0$ .

$x^{2} - 32 = 0$

Schritt 7.2

Löse $x^{2} - 32 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Addiere $32$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 32$

Schritt 7.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{32}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{32}$ .

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Schritt 7.2.3.1

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 7.2.3.1.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$x = \pm \sqrt{16 (2)}$

Schritt 7.2.3.1.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Schritt 7.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm 4 \sqrt{2}$

Schritt 7.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 4 \sqrt{2}$

Schritt 7.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 4 \sqrt{2}$

Schritt 7.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4 \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} - 18) (x^{2} - 32) = 0$ wahr machen.

$x = 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}, 4 \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}, 4 \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2}$

Dezimalform:

$x = 4.24264068 \dots, - 4.24264068 \dots, 5.65685424 \dots, - 5.65685424 \dots$