Elementarmathematik Beispiele

$2 y^{2} - y - \frac{1}{2} = 0$

Schritt 1

Um $2 y^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- y + 2 y^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = 0$

Schritt 2

Kombiniere $2 y^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$- y + \frac{2 y^{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} = 0$

Schritt 3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- y + \frac{2 y^{2} \cdot 2 - 1}{2} = 0$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- y + \frac{4 y^{2} - 1}{2} = 0$

Schritt 4.2

Schreibe $4 y^{2}$ als ${(2 y)}^{2}$ um.

$- y + \frac{{(2 y)}^{2} - 1}{2} = 0$

Schritt 4.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- y + \frac{{(2 y)}^{2} - 1^{2}}{2} = 0$

Schritt 4.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 y$ und $b = 1$ .

$- y + \frac{(2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

Schritt 5

Um $- y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- y \cdot \frac{2}{2} + \frac{(2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

Schritt 6

Kombiniere $- y$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- y \cdot 2}{2} + \frac{(2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- y \cdot 2 + (2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 y + (2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

Schritt 8.2

Multipliziere $(2 y + 1) (2 y - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 8.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y - 1) + 1 (2 y - 1)}{2} = 0$

Schritt 8.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 1 + 1 (2 y - 1)}{2} = 0$

Schritt 8.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Schritt 8.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 y (2 y) + 2 y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 8.3.1

Ordne die Faktoren in den Termen $2 y \cdot - 1$ und $1 (2 y)$ neu an.

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) - 1 \cdot (2 y) + 1 \cdot (2 y) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Schritt 8.3.2

Addiere $- 1 \cdot 2 y$ und $1 \cdot 2 y$ .

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) + 0 + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Schritt 8.3.3

Addiere $2 y (2 y)$ und $0$ .

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Schritt 8.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 2 y + 2 \cdot (2 y \cdot y) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Schritt 8.4.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.4.2.1

Bewege $y$ .

$\frac{- 2 y + 2 \cdot (2 (y \cdot y)) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Schritt 8.4.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{- 2 y + 2 \cdot (2 y^{2}) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Schritt 8.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 2 y + 4 y^{2} + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Schritt 8.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 2 y + 4 y^{2} - 1}{2} = 0$

Schritt 8.5

Stelle die Terme um.

$\frac{4 y^{2} - 2 y - 1}{2} = 0$

Schritt 9

Setze den Zähler gleich Null.

$4 y^{2} - 2 y - 1 = 0$

Schritt 10

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 10.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 10.2

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 2$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 10.3

Vereinfache.

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Schritt 10.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.3.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 10.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Schritt 10.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 10.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

Schritt 10.3.1.3

Addiere $4$ und $16$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Schritt 10.3.1.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 10.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 10.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 10.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Schritt 10.3.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Schritt 10.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 10.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 10.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Schritt 10.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 10.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

Schritt 10.4.1.3

Addiere $4$ und $16$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Schritt 10.4.1.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 10.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 10.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 10.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 10.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Schritt 10.4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Schritt 10.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

Schritt 10.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 10.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 10.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Schritt 10.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 10.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

Schritt 10.5.1.3

Addiere $4$ und $16$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Schritt 10.5.1.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 10.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 10.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 10.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 10.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Schritt 10.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Schritt 10.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Schritt 10.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$y = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Dezimalform:

$y = 0.80901699 \dots, - 0.30901699 \dots$