Elementarmathematik Beispiele

$x^{- \frac{2}{3}} = 36$

Schritt 1

Subtrahiere $36$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{- \frac{2}{3}} - 36 = 0$

Schritt 2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - 36 = 0$

Schritt 3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2}}{x^{\frac{2}{3}}} - 36 = 0$

Schritt 4

Schreibe $x^{\frac{2}{3}}$ als ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ um.

$\frac{1^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}} - 36 = 0$

Schritt 5

Schreibe $\frac{1^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$ als ${(\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})}^{2}$ um.

${(\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})}^{2} - 36 = 0$

Schritt 6

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

${(\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})}^{2} - 6^{2} = 0$

Schritt 7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ und $b = 6$ .

$(\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + 6) (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 6) = 0$

Schritt 8

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$(\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}) (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 6) = 0$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 6) = 0$

Schritt 10

Um $- 6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1 + 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 6 \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}) = 0$

Schritt 11

Kombiniere $- 6$ und $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1 + 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}) = 0$

Schritt 12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1 - 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 13

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\frac{1 + 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

$\frac{1 - 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 14

Setze $\frac{1 + 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Setze $\frac{1 + 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ gleich $0$ .

$\frac{1 + 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 14.2

Löse $\frac{1 + 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 14.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$1 + 6 x^{\frac{1}{3}} = 0$

Schritt 14.2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 14.2.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x^{\frac{1}{3}} = - 1$

Schritt 14.2.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(6 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 14.2.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 14.2.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 14.2.2.3.1.1

Vereinfache ${(6 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 14.2.2.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $6 x^{\frac{1}{3}}$ an.

$6^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 14.2.2.3.1.1.2

Potenziere $6$ mit $3$ .

$216 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 14.2.2.3.1.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 14.2.2.3.1.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$216 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 14.2.2.3.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 14.2.2.3.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$216 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 14.2.2.3.1.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$216 x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 14.2.2.3.1.1.4

Vereinfache.

$216 x = {(- 1)}^{3}$

Schritt 14.2.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 14.2.2.3.2.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$216 x = - 1$

Schritt 14.2.2.4

Teile jeden Ausdruck in $216 x = - 1$ durch $216$ und vereinfache.

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Schritt 14.2.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $216 x = - 1$ durch $216$ .

$\frac{216 x}{216} = \frac{- 1}{216}$

Schritt 14.2.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 14.2.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $216$ .

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Schritt 14.2.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{216 x}{216} = \frac{- 1}{216}$

Schritt 14.2.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{216}$

Schritt 14.2.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 14.2.2.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{216}$

Schritt 15

Setze $\frac{1 - 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 15.1

Setze $\frac{1 - 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ gleich $0$ .

$\frac{1 - 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 15.2

Löse $\frac{1 - 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 15.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$1 - 6 x^{\frac{1}{3}} = 0$

Schritt 15.2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 15.2.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 x^{\frac{1}{3}} = - 1$

Schritt 15.2.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(- 6 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 15.2.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 15.2.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 15.2.2.3.1.1

Vereinfache ${(- 6 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 15.2.2.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- 6 x^{\frac{1}{3}}$ an.

${(- 6)}^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 15.2.2.3.1.1.2

Potenziere $- 6$ mit $3$ .

$- 216 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 15.2.2.3.1.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 15.2.2.3.1.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 216 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 15.2.2.3.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 15.2.2.3.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 216 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 15.2.2.3.1.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 216 x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 15.2.2.3.1.1.4

Vereinfache.

$- 216 x = {(- 1)}^{3}$

Schritt 15.2.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 15.2.2.3.2.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 216 x = - 1$

Schritt 15.2.2.4

Teile jeden Ausdruck in $- 216 x = - 1$ durch $- 216$ und vereinfache.

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Schritt 15.2.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 216 x = - 1$ durch $- 216$ .

$\frac{- 216 x}{- 216} = \frac{- 1}{- 216}$

Schritt 15.2.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 15.2.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 216$ .

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Schritt 15.2.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 216 x}{- 216} = \frac{- 1}{- 216}$

Schritt 15.2.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 216}$

Schritt 15.2.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 15.2.2.4.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{1}{216}$

Schritt 16

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\frac{1 + 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1 - 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{216}, \frac{1}{216}$