Elementarmathematik Beispiele

$y^{\frac{9}{2}} - 10 y^{\frac{7}{2}} + 21 y^{\frac{5}{2}} = 0$

Schritt 1

Faktorisiere $y^{\frac{5}{2}}$ aus $y^{\frac{9}{2}} - 10 y^{\frac{7}{2}} + 21 y^{\frac{5}{2}}$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $y^{\frac{5}{2}}$ aus $y^{\frac{9}{2}}$ heraus.

$y^{\frac{5}{2}} y^{\frac{4}{2}} - 10 y^{\frac{7}{2}} + 21 y^{\frac{5}{2}} = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $y^{\frac{5}{2}}$ aus $- 10 y^{\frac{7}{2}}$ heraus.

$y^{\frac{5}{2}} y^{\frac{4}{2}} + y^{\frac{5}{2}} (- 10 y^{\frac{2}{2}}) + 21 y^{\frac{5}{2}} = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $y^{\frac{5}{2}}$ aus $21 y^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$y^{\frac{5}{2}} y^{\frac{4}{2}} + y^{\frac{5}{2}} (- 10 y^{\frac{2}{2}}) + y^{\frac{5}{2}} \cdot 21 = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere $y^{\frac{5}{2}}$ aus $y^{\frac{5}{2}} y^{\frac{4}{2}} + y^{\frac{5}{2}} (- 10 y^{\frac{2}{2}})$ heraus.

$y^{\frac{5}{2}} (y^{\frac{4}{2}} - 10 y^{\frac{2}{2}}) + y^{\frac{5}{2}} \cdot 21 = 0$

Schritt 1.5

Faktorisiere $y^{\frac{5}{2}}$ aus $y^{\frac{5}{2}} (y^{\frac{4}{2}} - 10 y^{\frac{2}{2}}) + y^{\frac{5}{2}} \cdot 21$ heraus.

$y^{\frac{5}{2}} (y^{\frac{4}{2}} - 10 y^{\frac{2}{2}} + 21) = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $y^{\frac{4}{2}} - 10 y^{\frac{2}{2}} + 21$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $21$ und deren Summe $- 10$ ist.

$- 7, - 3$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$y^{\frac{5}{2}} ((y^{\frac{2}{2}} - 7) (y^{\frac{2}{2}} - 3)) = 0$

Schritt 3

Dividiere $2$ durch $2$ .

$y^{\frac{5}{2}} ((y - 7) (y^{\frac{2}{2}} - 3)) = 0$

Schritt 4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$y^{\frac{5}{2}} ((y - 7) (y - 3)) = 0$

Schritt 5

Entferne unnötige Klammern.

$y^{\frac{5}{2}} (y - 7) (y - 3) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y^{\frac{5}{2}} = 0$

$y - 7 = 0$

$y - 3 = 0$

Schritt 7

Setze $y^{\frac{5}{2}}$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $y^{\frac{5}{2}}$ gleich $0$ .

$y^{\frac{5}{2}} = 0$

Schritt 7.2

Löse $y^{\frac{5}{2}} = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 7.2.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{2}{5}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}} = 0^{\frac{2}{5}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 7.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1.1

Vereinfache ${(y^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

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Schritt 7.2.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

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Schritt 7.2.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 0^{\frac{2}{5}}$

Schritt 7.2.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 7.2.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 0^{\frac{2}{5}}$

Schritt 7.2.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{\frac{2}{5}}$

Schritt 7.2.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.2.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{\frac{2}{5}}$

Schritt 7.2.2.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = 0^{\frac{2}{5}}$

Schritt 7.2.2.1.1.2

Vereinfache.

$y = 0^{\frac{2}{5}}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.2.1

Vereinfache $0^{\frac{2}{5}}$ .

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Schritt 7.2.2.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.2.2.1.1.1

Schreibe $0$ als $0^{5}$ um.

$y = {(0^{5})}^{\frac{2}{5}}$

Schritt 7.2.2.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 0^{5 (\frac{2}{5})}$

Schritt 7.2.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 7.2.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 0^{5 (\frac{2}{5})}$

Schritt 7.2.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 0^{2}$

Schritt 7.2.2.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0$

Schritt 8

Setze $y - 7$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $y - 7$ gleich $0$ .

$y - 7 = 0$

Schritt 8.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 7$

Schritt 9

Setze $y - 3$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $y - 3$ gleich $0$ .

$y - 3 = 0$

Schritt 9.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 3$

Schritt 10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $y^{\frac{5}{2}} (y - 7) (y - 3) = 0$ wahr machen.

$y = 0, 7, 3$