Elementarmathematik Beispiele

$x^{4} - 20 x^{2} + 19 = 0$

Schritt 1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

${(x^{2})}^{2} - 20 x^{2} + 19 = 0$

Schritt 2

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$u^{2} - 20 u + 19 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $u^{2} - 20 u + 19$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $19$ und deren Summe $- 20$ ist.

$- 19, - 1$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 19) (u - 1) = 0$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$(x^{2} - 19) (x^{2} - 1) = 0$

Schritt 5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x^{2} - 19) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 6

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x^{2} - 19) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 6.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} - 19) (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} - 19 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 8

Setze $x^{2} - 19$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Setze $x^{2} - 19$ gleich $0$ .

$x^{2} - 19 = 0$

Schritt 8.2

Löse $x^{2} - 19 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Addiere $19$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 19$

Schritt 8.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{19}$

Schritt 8.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{19}$

Schritt 8.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{19}$

Schritt 8.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{19}, - \sqrt{19}$

Schritt 9

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 9.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 10

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 10.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} - 19) (x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \sqrt{19}, - \sqrt{19}, - 1, 1$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \sqrt{19}, - \sqrt{19}, - 1, 1$

Dezimalform:

$x = 4.35889894 \dots, - 4.35889894 \dots, - 1, 1$