Elementarmathematik Beispiele

$x^{9} - 25 x^{5} + 144 x = 0$

Schritt 1

Faktorisiere $x$ aus $x^{9} - 25 x^{5} + 144 x$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{9}$ heraus.

$x \cdot x^{8} - 25 x^{5} + 144 x = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 25 x^{5}$ heraus.

$x \cdot x^{8} + x (- 25 x^{4}) + 144 x = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x$ aus $144 x$ heraus.

$x \cdot x^{8} + x (- 25 x^{4}) + x \cdot 144 = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{8} + x (- 25 x^{4})$ heraus.

$x (x^{8} - 25 x^{4}) + x \cdot 144 = 0$

Schritt 1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{8} - 25 x^{4}) + x \cdot 144$ heraus.

$x (x^{8} - 25 x^{4} + 144) = 0$

Schritt 2

Schreibe $x^{8}$ als ${(x^{4})}^{2}$ um.

$x ({(x^{4})}^{2} - 25 x^{4} + 144) = 0$

Schritt 3

Es sei $u = x^{4}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{4}$ .

$x (u^{2} - 25 u + 144) = 0$

Schritt 4

Faktorisiere $u^{2} - 25 u + 144$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $144$ und deren Summe $- 25$ ist.

$- 16, - 9$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x ((u - 16) (u - 9)) = 0$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $x^{4}$ .

$x ((x^{4} - 16) (x^{4} - 9)) = 0$

Schritt 6

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x (({(x^{2})}^{2} - 16) (x^{4} - 9)) = 0$

Schritt 7

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x (({(x^{2})}^{2} - 4^{2}) (x^{4} - 9)) = 0$

Schritt 8

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 4$ .

$x ((x^{2} + 4) (x^{2} - 4) (x^{4} - 9)) = 0$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x ((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}) (x^{4} - 9)) = 0$

Schritt 9.2

Faktorisiere.

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Schritt 9.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$x ((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)) (x^{4} - 9)) = 0$

Schritt 9.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$x ((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) (x^{4} - 9)) = 0$

Schritt 10

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x ((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) ({(x^{2})}^{2} - 9)) = 0$

Schritt 11

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x ((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) ({(x^{2})}^{2} - 3^{2})) = 0$

Schritt 12

Faktorisiere.

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Schritt 12.1

Faktorisiere.

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Schritt 12.1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 3$ .

$x ((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) ((x^{2} + 3) (x^{2} - 3))) = 0$

Schritt 12.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$x ((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) (x^{2} - 3)) = 0$

Schritt 12.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) (x^{2} - 3) = 0$

Schritt 13

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Schritt 14

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 15

Setze $x^{2} + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 15.1

Setze $x^{2} + 4$ gleich $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Schritt 15.2

Löse $x^{2} + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 15.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 4$

Schritt 15.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Schritt 15.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Schritt 15.2.3.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Schritt 15.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Schritt 15.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Schritt 15.2.3.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Schritt 15.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 2$

Schritt 15.2.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 2 i$

Schritt 15.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 15.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 i$

Schritt 15.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 i$

Schritt 15.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 i, - 2 i$

Schritt 16

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 16.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 16.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 17

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 17.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 17.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 18

Setze $x^{2} + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 18.1

Setze $x^{2} + 3$ gleich $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Schritt 18.2

Löse $x^{2} + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 18.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 3$

Schritt 18.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Schritt 18.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Schritt 18.2.3.1

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Schritt 18.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Schritt 18.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{3}$

Schritt 18.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 18.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 18.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{3}$

Schritt 18.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Schritt 19

Setze $x^{2} - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 19.1

Setze $x^{2} - 3$ gleich $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Schritt 19.2

Löse $x^{2} - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 19.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 3$

Schritt 19.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Schritt 19.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 19.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{3}$

Schritt 19.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{3}$

Schritt 19.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 20

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) (x^{2} - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2 i, - 2 i, - 2, 2, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$