Elementarmathematik Beispiele

$x^{8} - 32 x^{4} + 256 = 0$

Schritt 1

Schreibe $x^{8}$ als ${(x^{4})}^{2}$ um.

${(x^{4})}^{2} - 32 x^{4} + 256 = 0$

Schritt 2

Es sei $u = x^{4}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{4}$ .

$u^{2} - 32 u + 256 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.1

Schreibe $256$ als $16^{2}$ um.

$u^{2} - 32 u + 16^{2} = 0$

Schritt 3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$32 u = 2 \cdot u \cdot 16$

Schritt 3.3

Schreibe das Polynom neu.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 16 + 16^{2} = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 16$ .

${(u - 16)}^{2} = 0$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $x^{4}$ .

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

Schritt 5

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

Schritt 6

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

Schritt 7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 4$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

Schritt 8.2

Faktorisiere.

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Schritt 8.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

Schritt 8.2.2

Entferne unnötige Klammern.

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Schritt 9

Wende die Produktregel auf $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ an.

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 10

Wende die Produktregel auf $(x^{2} + 4) (x + 2)$ an.

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 11

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 12

Setze ${(x^{2} + 4)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze ${(x^{2} + 4)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Schritt 12.2

Löse ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.1

Setze $x^{2} + 4$ gleich $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Schritt 12.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 4$

Schritt 12.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Schritt 12.2.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Schritt 12.2.2.3.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Schritt 12.2.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Schritt 12.2.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Schritt 12.2.2.3.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Schritt 12.2.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 2$

Schritt 12.2.2.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 2 i$

Schritt 12.2.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 12.2.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 i$

Schritt 12.2.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 i$

Schritt 12.2.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 i, - 2 i$

Schritt 13

Setze ${(x + 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze ${(x + 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Schritt 13.2

Löse ${(x + 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 13.2.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 13.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 14

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 14.2

Löse ${(x - 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 14.2.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 14.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 15

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$