Elementarmathematik Beispiele

$x^{6} - 16^{4} = 0$

Schritt 1

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{3})}^{2}$ um.

${(x^{3})}^{2} - 16^{4} = 0$

Schritt 2

Schreibe $16^{4}$ als ${(16^{2})}^{2}$ um.

${(x^{3})}^{2} - {(16^{2})}^{2} = 0$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{3}$ und $b = 16^{2}$ .

$(x^{3} + 16^{2}) (x^{3} - 16^{2}) = 0$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Potenziere $16$ mit $2$ .

$(x^{3} + 256) (x^{3} - 16^{2}) = 0$

Schritt 4.2

Potenziere $16$ mit $2$ .

$(x^{3} + 256) (x^{3} - 1 \cdot 256) = 0$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $256$ .

$(x^{3} + 256) (x^{3} - 256) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{3} + 256 = 0$

$x^{3} - 256 = 0$

Schritt 6

Setze $x^{3} + 256$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x^{3} + 256$ gleich $0$ .

$x^{3} + 256 = 0$

Schritt 6.2

Löse $x^{3} + 256 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $256$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = - 256$

Schritt 6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{- 256}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache $\sqrt[3]{- 256}$ .

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Schritt 6.2.3.1

Schreibe $- 256$ als ${(- 4)}^{3} \cdot 4$ um.

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Schritt 6.2.3.1.1

Faktorisiere $- 64$ aus $- 256$ heraus.

$x = \sqrt[3]{- 64 (4)}$

Schritt 6.2.3.1.2

Schreibe $- 64$ als ${(- 4)}^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{{(- 4)}^{3} \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = - 4 \sqrt[3]{4}$

Schritt 7

Setze $x^{3} - 256$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x^{3} - 256$ gleich $0$ .

$x^{3} - 256 = 0$

Schritt 7.2

Löse $x^{3} - 256 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Addiere $256$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = 256$

Schritt 7.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{256}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache $\sqrt[3]{256}$ .

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Schritt 7.2.3.1

Schreibe $256$ als $4^{3} \cdot 4$ um.

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Schritt 7.2.3.1.1

Faktorisiere $64$ aus $256$ heraus.

$x = \sqrt[3]{64 (4)}$

Schritt 7.2.3.1.2

Schreibe $64$ als $4^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{4^{3} \cdot 4}$

Schritt 7.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = 4 \sqrt[3]{4}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{3} + 256) (x^{3} - 256) = 0$ wahr machen.

$x = - 4 \sqrt[3]{4}, 4 \sqrt[3]{4}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - 4 \sqrt[3]{4}, 4 \sqrt[3]{4}$

Dezimalform:

$x = - 6.34960420 \dots, 6.34960420 \dots$