Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{- 3 x^{2} + x + 12}{x^{2} - 4}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = \frac{- 3 x^{2} + x + 12}{x^{2} - 4}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$- 3 x^{2} + x + 12 = 0$

Schritt 1.2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.2.2

Setze die Werte $a = - 3$ , $b = 1$ und $c = 12$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot 12)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 1.2.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 3 \cdot 12}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 1.2.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 3 \cdot 12$ .

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Schritt 1.2.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 12 \cdot 12}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 1.2.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $12$ mit $12$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 144}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 1.2.2.3.1.3

Addiere $1$ und $144$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{145}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 1.2.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{145}}{- 6}$

Schritt 1.2.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 1 \pm \sqrt{145}}{- 6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{145}}{6}$

Schritt 1.2.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.2.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 3 \cdot 12}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 1.2.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 3 \cdot 12$ .

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Schritt 1.2.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 12 \cdot 12}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 1.2.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $12$ mit $12$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 144}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 1.2.2.4.1.3

Addiere $1$ und $144$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{145}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 1.2.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{145}}{- 6}$

Schritt 1.2.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 1 \pm \sqrt{145}}{- 6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{145}}{6}$

Schritt 1.2.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{145}}{6}$

Schritt 1.2.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.2.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 3 \cdot 12}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 1.2.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 3 \cdot 12$ .

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Schritt 1.2.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 12 \cdot 12}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 1.2.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $12$ mit $12$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 144}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 1.2.2.5.1.3

Addiere $1$ und $144$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{145}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 1.2.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{145}}{- 6}$

Schritt 1.2.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 1 \pm \sqrt{145}}{- 6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{145}}{6}$

Schritt 1.2.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{145}}{6}$

Schritt 1.2.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + \sqrt{145}}{6}, \frac{1 - \sqrt{145}}{6}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{1 + \sqrt{145}}{6}, 0), (\frac{1 - \sqrt{145}}{6}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = \frac{- 3 {(0)}^{2} + 0 + 12}{{(0)}^{2} - 4}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{- 3 {(0)}^{2} + 0 + 12}{{(0)}^{2} - 4}$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \frac{- 3 \cdot 0^{2} + 0 + 12}{{(0)}^{2} - 4}$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = \frac{- 3 \cdot 0^{2} + 0 + 12}{0^{2} - 4}$

Schritt 2.2.4

Entferne die Klammern.

$y = \frac{- 3 {(0)}^{2} + 0 + 12}{{(0)}^{2} - 4}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache $\frac{- 3 {(0)}^{2} + 0 + 12}{{(0)}^{2} - 4}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = \frac{- 3 \cdot 0 + 0 + 12}{0^{2} - 4}$

Schritt 2.2.5.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$y = \frac{0 + 0 + 12}{0^{2} - 4}$

Schritt 2.2.5.1.3

Addiere $0$ und $0$ .

$y = \frac{0 + 12}{0^{2} - 4}$

Schritt 2.2.5.1.4

Addiere $0$ und $12$ .

$y = \frac{12}{0^{2} - 4}$

Schritt 2.2.5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.5.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = \frac{12}{0 - 4}$

Schritt 2.2.5.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$y = \frac{12}{- 4}$

Schritt 2.2.5.3

Dividiere $12$ durch $- 4$ .

$y = - 3$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 3)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{1 + \sqrt{145}}{6}, 0), (\frac{1 - \sqrt{145}}{6}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 3)$

Schritt 4