Elementarmathematik Beispiele

$4 x^{2} + 9 y^{2} - 18 y - 27 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$4 x^{2} + 9 {(0)}^{2} - 18 \cdot 0 - 27 = 0$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Vereinfache $4 x^{2} + 9 {(0)}^{2} - 18 \cdot 0 - 27$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 x^{2} + 9 \cdot 0 - 18 \cdot 0 - 27 = 0$

Schritt 1.2.1.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$4 x^{2} + 0 - 18 \cdot 0 - 27 = 0$

Schritt 1.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 18$ mit $0$ .

$4 x^{2} + 0 + 0 - 27 = 0$

Schritt 1.2.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x^{2} + 0 + 0 - 27$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.2.1

Addiere $4 x^{2}$ und $0$ .

$4 x^{2} + 0 - 27 = 0$

Schritt 1.2.1.2.2

Addiere $4 x^{2}$ und $0$ .

$4 x^{2} - 27 = 0$

Schritt 1.2.2

Addiere $27$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} = 27$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = 27$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = 27$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{27}{4}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{27}{4}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{27}{4}$

Schritt 1.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{27}{4}}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{27}{4}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{27}{4}}$ als $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$x = \pm \frac{\sqrt{9 (3)}}{\sqrt{4}}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{\sqrt{4}}$

Schritt 1.2.5.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Schritt 1.2.5.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 1.2.5.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{3 \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{3 \sqrt{3}}{2}, 0), (- \frac{3 \sqrt{3}}{2}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$4 {(0)}^{2} + 9 y^{2} - 18 y - 27 = 0$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Vereinfache $4 {(0)}^{2} + 9 y^{2} - 18 y - 27$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 \cdot 0 + 9 y^{2} - 18 y - 27 = 0$

Schritt 2.2.1.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$0 + 9 y^{2} - 18 y - 27 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Addiere $0$ und $9 y^{2}$ .

$9 y^{2} - 18 y - 27 = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9 y^{2} - 18 y - 27$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1

Faktorisiere $9$ aus $9 y^{2}$ heraus.

$9 (y^{2}) - 18 y - 27 = 0$

Schritt 2.2.2.1.2

Faktorisiere $9$ aus $- 18 y$ heraus.

$9 (y^{2}) + 9 (- 2 y) - 27 = 0$

Schritt 2.2.2.1.3

Faktorisiere $9$ aus $- 27$ heraus.

$9 y^{2} + 9 (- 2 y) + 9 \cdot - 3 = 0$

Schritt 2.2.2.1.4

Faktorisiere $9$ aus $9 y^{2} + 9 (- 2 y)$ heraus.

$9 (y^{2} - 2 y) + 9 \cdot - 3 = 0$

Schritt 2.2.2.1.5

Faktorisiere $9$ aus $9 (y^{2} - 2 y) + 9 \cdot - 3$ heraus.

$9 (y^{2} - 2 y - 3) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.2.1

Faktorisiere $y^{2} - 2 y - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 3, 1$

Schritt 2.2.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$9 ((y - 3) (y + 1)) = 0$

Schritt 2.2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$9 (y - 3) (y + 1) = 0$

Schritt 2.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y - 3 = 0$

$y + 1 = 0$

Schritt 2.2.4

Setze $y - 3$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1

Setze $y - 3$ gleich $0$ .

$y - 3 = 0$

Schritt 2.2.4.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 3$

Schritt 2.2.5

Setze $y + 1$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.1

Setze $y + 1$ gleich $0$ .

$y + 1 = 0$

Schritt 2.2.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 1$

Schritt 2.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $9 (y - 3) (y + 1) = 0$ wahr machen.

$y = 3, - 1$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 3), (0, - 1)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{3 \sqrt{3}}{2}, 0), (- \frac{3 \sqrt{3}}{2}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 3), (0, - 1)$

Schritt 4