Elementarmathematik Beispiele

$3 x^{2} - 12 x + 3 y^{2} - 30 y = 12$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$3 x^{2} - 12 x + 3 {(0)}^{2} - 30 \cdot 0 = 12$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache $3 x^{2} - 12 x + 3 {(0)}^{2} - 30 \cdot 0$ .

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 3 \cdot 0 - 30 \cdot 0 = 12$

Schritt 1.2.1.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 0 - 30 \cdot 0 = 12$

Schritt 1.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 30$ mit $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 0 + 0 = 12$

Schritt 1.2.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x^{2} - 12 x + 0 + 0$ .

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Schritt 1.2.1.2.1

Addiere $3 x^{2} - 12 x$ und $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 0 = 12$

Schritt 1.2.1.2.2

Addiere $3 x^{2} - 12 x$ und $0$ .

$3 x^{2} - 12 x = 12$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} - 12 x - 12 = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} - 12 x - 12$ heraus.

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$3 (x^{2}) - 12 x - 12 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Faktorisiere $3$ aus $- 12 x$ heraus.

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) - 12 = 0$

Schritt 1.2.3.3

Faktorisiere $3$ aus $- 12$ heraus.

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot - 4 = 0$

Schritt 1.2.3.4

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ heraus.

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 4 = 0$

Schritt 1.2.3.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 4$ heraus.

$3 (x^{2} - 4 x - 4) = 0$

Schritt 1.2.4

Teile jeden Ausdruck in $3 (x^{2} - 4 x - 4) = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (x^{2} - 4 x - 4) = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 4 x - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (x^{2} - 4 x - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Dividiere $x^{2} - 4 x - 4$ durch $1$ .

$x^{2} - 4 x - 4 = \frac{0}{3}$

Schritt 1.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x^{2} - 4 x - 4 = 0$

Schritt 1.2.5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = - 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7

Vereinfache.

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Schritt 1.2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.7.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Schritt 1.2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.3

Addiere $16$ und $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.2.7.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.7.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 \sqrt{2}$

Schritt 1.2.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.8.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Schritt 1.2.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.3

Addiere $16$ und $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.2.8.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.8.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 \sqrt{2}$

Schritt 1.2.8.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 2 + 2 \sqrt{2}$

Schritt 1.2.9

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.9.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Schritt 1.2.9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.1.3

Addiere $16$ und $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.1.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.2.9.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.9.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 \sqrt{2}$

Schritt 1.2.9.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 2 - 2 \sqrt{2}$

Schritt 1.2.10

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 2 + 2 \sqrt{2}, 2 - 2 \sqrt{2}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(2 + 2 \sqrt{2}, 0), (2 - 2 \sqrt{2}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$3 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3 y^{2} - 30 y = 12$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $3 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3 y^{2} - 30 y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$3 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 3 y^{2} - 30 y = 12$

Schritt 2.2.1.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$0 - 12 \cdot 0 + 3 y^{2} - 30 y = 12$

Schritt 2.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $0$ .

$0 + 0 + 3 y^{2} - 30 y = 12$

Schritt 2.2.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $0 + 0 + 3 y^{2} - 30 y$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 3 y^{2} - 30 y = 12$

Schritt 2.2.1.2.2

Addiere $0$ und $3 y^{2}$ .

$3 y^{2} - 30 y = 12$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} - 30 y - 12 = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 y^{2} - 30 y - 12$ heraus.

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Schritt 2.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y^{2}$ heraus.

$3 (y^{2}) - 30 y - 12 = 0$

Schritt 2.2.3.2

Faktorisiere $3$ aus $- 30 y$ heraus.

$3 (y^{2}) + 3 (- 10 y) - 12 = 0$

Schritt 2.2.3.3

Faktorisiere $3$ aus $- 12$ heraus.

$3 y^{2} + 3 (- 10 y) + 3 \cdot - 4 = 0$

Schritt 2.2.3.4

Faktorisiere $3$ aus $3 y^{2} + 3 (- 10 y)$ heraus.

$3 (y^{2} - 10 y) + 3 \cdot - 4 = 0$

Schritt 2.2.3.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (y^{2} - 10 y) + 3 \cdot - 4$ heraus.

$3 (y^{2} - 10 y - 4) = 0$

Schritt 2.2.4

Teile jeden Ausdruck in $3 (y^{2} - 10 y - 4) = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (y^{2} - 10 y - 4) = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 (y^{2} - 10 y - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (y^{2} - 10 y - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 2.2.4.2.1.2

Dividiere $y^{2} - 10 y - 4$ durch $1$ .

$y^{2} - 10 y - 4 = \frac{0}{3}$

Schritt 2.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.4.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$y^{2} - 10 y - 4 = 0$

Schritt 2.2.5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.2.6

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 10$ und $c = - 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7

Vereinfache.

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Schritt 2.2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.7.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Schritt 2.2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.3

Addiere $100$ und $16$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{116}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.4

Schreibe $116$ als $2^{2} \cdot 29$ um.

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Schritt 2.2.7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $116$ heraus.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (29)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{29}}{2}$

Schritt 2.2.7.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2 \sqrt{29}}{2}$ .

$y = 5 \pm \sqrt{29}$

Schritt 2.2.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.8.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Schritt 2.2.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.8.1.3

Addiere $100$ und $16$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{116}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.8.1.4

Schreibe $116$ als $2^{2} \cdot 29$ um.

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Schritt 2.2.8.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $116$ heraus.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (29)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.8.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{29}}{2}$

Schritt 2.2.8.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2 \sqrt{29}}{2}$ .

$y = 5 \pm \sqrt{29}$

Schritt 2.2.8.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = 5 + \sqrt{29}$

Schritt 2.2.9

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.9.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Schritt 2.2.9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.9.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.9.1.3

Addiere $100$ und $16$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{116}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.9.1.4

Schreibe $116$ als $2^{2} \cdot 29$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.9.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $116$ heraus.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (29)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.9.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.9.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{29}}{2}$

Schritt 2.2.9.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2 \sqrt{29}}{2}$ .

$y = 5 \pm \sqrt{29}$

Schritt 2.2.9.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = 5 - \sqrt{29}$

Schritt 2.2.10

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 5 + \sqrt{29}, 5 - \sqrt{29}$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 5 + \sqrt{29}), (0, 5 - \sqrt{29})$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(2 + 2 \sqrt{2}, 0), (2 - 2 \sqrt{2}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 5 + \sqrt{29}), (0, 5 - \sqrt{29})$

Schritt 4