Elementarmathematik Beispiele

$y = \cos (5 x)$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = \cos (5 x)$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $\cos (5 x) = 0$ um.

$\cos (5 x) = 0$

Schritt 1.2.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$5 x = \arccos (0)$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$5 x = \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.4

Teile jeden Ausdruck in $5 x = \frac{π}{2}$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = \frac{π}{2}$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{2}}{5}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{2}}{5}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{5}$

Schritt 1.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 1.2.4.3.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Schritt 1.2.4.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.2.4.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x = \frac{π}{10}$

Schritt 1.2.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$5 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache.

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Schritt 1.2.6.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$5 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.6.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$5 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.6.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 1.2.6.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$5 x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 1.2.6.1.5

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$5 x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.2.6.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = \frac{3 π}{2}$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = \frac{3 π}{2}$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{3 π}{2}}{5}$

Schritt 1.2.6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{3 π}{2}}{5}$

Schritt 1.2.6.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{5}$

Schritt 1.2.6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 1.2.6.2.3.2

Multipliziere $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Schritt 1.2.6.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{2}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.2.6.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x = \frac{3 π}{10}$

Schritt 1.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (5 x)$ .

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Schritt 1.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.7.2

Ersetze $b$ durch $5$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 5 |}$

Schritt 1.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $5$ ist $5$ .

$\frac{2 π}{5}$

Schritt 1.2.8

Die Periode der Funktion $\cos (5 x)$ ist $\frac{2 π}{5}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{2 π}{5}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{10} + \frac{2 π n}{5}, \frac{3 π}{10} + \frac{2 π n}{5}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{10} + \frac{π n}{5}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{π}{10} + \frac{π n}{5}, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = \cos (5 (0))$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \cos (5 (0))$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $\cos (5 (0))$ .

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$y = \cos (0)$

Schritt 2.2.2.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 1)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{π}{10} + \frac{π n}{5}, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 1)$

Schritt 4