Elementarmathematik Beispiele

$y - 7 = \frac{1}{4} \cdot {(x - 3)}^{2}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$(0) - 7 = \frac{1}{4} \cdot {(x - 3)}^{2}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{4} \cdot {(x - 3)}^{2} = (0) - 7$ um.

$\frac{1}{4} \cdot {(x - 3)}^{2} = (0) - 7$

Schritt 1.2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $4$ .

$4 (\frac{1}{4} \cdot {(x - 3)}^{2}) = 4 ((0) - 7)$

Schritt 1.2.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.1.1

Vereinfache $4 (\frac{1}{4} \cdot {(x - 3)}^{2})$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und ${(x - 3)}^{2}$ .

$4 \frac{{(x - 3)}^{2}}{4} = 4 ((0) - 7)$

Schritt 1.2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{{(x - 3)}^{2}}{4} = 4 ((0) - 7)$

Schritt 1.2.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x - 3)}^{2} = 4 ((0) - 7)$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Vereinfache $4 ((0) - 7)$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Subtrahiere $7$ von $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 4 \cdot - 7$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 7$ .

${(x - 3)}^{2} = - 28$

Schritt 1.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - 3 = \pm \sqrt{- 28}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{- 28}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Schreibe $- 28$ als $- 1 (28)$ um.

$x - 3 = \pm \sqrt{- 1 (28)}$

Schritt 1.2.5.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (28)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{28}$ um.

$x - 3 = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{28}$

Schritt 1.2.5.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x - 3 = \pm i \cdot \sqrt{28}$

Schritt 1.2.5.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 1.2.5.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$x - 3 = \pm i \cdot \sqrt{4 (7)}$

Schritt 1.2.5.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x - 3 = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 7}$

Schritt 1.2.5.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x - 3 = \pm i \cdot (2 \sqrt{7})$

Schritt 1.2.5.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x - 3 = \pm 2 i \sqrt{7}$

Schritt 1.2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x - 3 = 2 i \sqrt{7}$

Schritt 1.2.6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2 i \sqrt{7} + 3$

Schritt 1.2.6.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x - 3 = - 2 i \sqrt{7}$

Schritt 1.2.6.4

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2 i \sqrt{7} + 3$

Schritt 1.2.6.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 i \sqrt{7} + 3, - 2 i \sqrt{7} + 3$

Schritt 1.3

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $Keine$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y - 7 = \frac{1}{4} \cdot {((0) - 3)}^{2}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $\frac{1}{4} \cdot {((0) - 3)}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.1.1

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$y - 7 = \frac{1}{4} \cdot {(- 3)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$y - 7 = \frac{1}{4} \cdot 9$

Schritt 2.2.1.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $9$ .

$y - 7 = \frac{9}{4}$

Schritt 2.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{9}{4} + 7$

Schritt 2.2.2.2

Um $7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{9}{4} + 7 \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 2.2.2.3

Kombiniere $7$ und $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{9}{4} + \frac{7 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{9 + 7 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.2.5.1

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$y = \frac{9 + 28}{4}$

Schritt 2.2.2.5.2

Addiere $9$ und $28$ .

$y = \frac{37}{4}$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, \frac{37}{4})$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $Keine$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, \frac{37}{4})$

Schritt 4