Elementarmathematik Beispiele

$y = 2^{x - 1} - 1$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 2^{x - 1} - 1$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $2^{x - 1} - 1 = 0$ um.

$2^{x - 1} - 1 = 0$

Schritt 1.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2^{x - 1} = 1$

Schritt 1.2.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{x - 1}) = \ln (1)$

Schritt 1.2.4

Zerlege $\ln (2^{x - 1})$ durch Herausziehen von $x - 1$ aus dem Logarithmus.

$(x - 1) \ln (2) = \ln (1)$

Schritt 1.2.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.1

Vereinfache $(x - 1) \ln (2)$ .

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Schritt 1.2.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (2) - 1 \ln (2) = \ln (1)$

Schritt 1.2.5.1.2

Schreibe $- 1 \ln (2)$ als $- \ln (2)$ um.

$x \ln (2) - \ln (2) = \ln (1)$

Schritt 1.2.6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$x \ln (2) - \ln (2) = 0$

Schritt 1.2.7

Addiere $\ln (2)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (2) = \ln (2)$

Schritt 1.2.8

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (2) = \ln (2)$ durch $\ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.8.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (2) = \ln (2)$ durch $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)}$

Schritt 1.2.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 1.2.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)}$

Schritt 1.2.8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (2)}{\ln (2)}$

Schritt 1.2.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 1.2.8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{\ln (2)}{\ln (2)}$

Schritt 1.2.8.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 1$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(1, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 2^{(0) - 1} - 1$

Schritt 2.2

Vereinfache $2^{(0) - 1} - 1$ .

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$y = 2^{- 1} - 1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y = \frac{1}{2} - 1$

Schritt 2.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{1 - 2}{2}$

Schritt 2.2.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$y = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - \frac{1}{2})$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(1, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - \frac{1}{2})$

Schritt 4