Elementarmathematik Beispiele

$y = \frac{2}{x + 7} + \frac{3}{3 - x}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = \frac{2}{x + 7} + \frac{3}{3 - x}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{2}{x + 7} + \frac{3}{3 - x} = 0$ um.

$\frac{2}{x + 7} + \frac{3}{3 - x} = 0$

Schritt 1.2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x + 7, 3 - x, 1$

Schritt 1.2.2.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 1.2.2.3

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 1.2.2.4

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 1.2.2.5

Der Teiler von $x + 7$ ist $x + 7$ selbst.

$(x + 7) = x + 7$

$(x + 7)$ occurs $1$ time.

Schritt 1.2.2.6

Der Teiler von $3 - x$ ist $3 - x$ selbst.

$(3 - x) = 3 - x$

$(3 - x)$ occurs $1$ time.

Schritt 1.2.2.7

Das kgV von $x + 7, 3 - x$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$(x + 7) (3 - x)$

Schritt 1.2.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{2}{x + 7} + \frac{3}{3 - x} = 0$ mit $(x + 7) (3 - x)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.2.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2}{x + 7} + \frac{3}{3 - x} = 0$ mit $(x + 7) (3 - x)$ .

$\frac{2}{x + 7} ((x + 7) (3 - x)) + \frac{3}{3 - x} ((x + 7) (3 - x)) = 0 ((x + 7) (3 - x))$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 7$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{x + 7} ((x + 7) (3 - x)) + \frac{3}{3 - x} ((x + 7) (3 - x)) = 0 ((x + 7) (3 - x))$

Schritt 1.2.3.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (3 - x) + \frac{3}{3 - x} ((x + 7) (3 - x)) = 0 ((x + 7) (3 - x))$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 3 + 2 (- x) + \frac{3}{3 - x} ((x + 7) (3 - x)) = 0 ((x + 7) (3 - x))$

Schritt 1.2.3.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 + 2 (- x) + \frac{3}{3 - x} ((x + 7) (3 - x)) = 0 ((x + 7) (3 - x))$

Schritt 1.2.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$6 - 2 x + \frac{3}{3 - x} ((x + 7) (3 - x)) = 0 ((x + 7) (3 - x))$

Schritt 1.2.3.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 - x$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.5.1

Faktorisiere $3 - x$ aus $(x + 7) (3 - x)$ heraus.

$6 - 2 x + \frac{3}{3 - x} ((3 - x) (x + 7)) = 0 ((x + 7) (3 - x))$

Schritt 1.2.3.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 - 2 x + \frac{3}{3 - x} ((3 - x) (x + 7)) = 0 ((x + 7) (3 - x))$

Schritt 1.2.3.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$6 - 2 x + 3 (x + 7) = 0 ((x + 7) (3 - x))$

Schritt 1.2.3.2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$6 - 2 x + 3 x + 3 \cdot 7 = 0 ((x + 7) (3 - x))$

Schritt 1.2.3.2.1.7

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$6 - 2 x + 3 x + 21 = 0 ((x + 7) (3 - x))$

Schritt 1.2.3.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Addiere $6$ und $21$ .

$- 2 x + 3 x + 27 = 0 ((x + 7) (3 - x))$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Addiere $- 2 x$ und $3 x$ .

$x + 27 = 0 ((x + 7) (3 - x))$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Multipliziere $(x + 7) (3 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.3.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 27 = 0 (x (3 - x) + 7 (3 - x))$

Schritt 1.2.3.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 27 = 0 (x \cdot 3 + x (- x) + 7 (3 - x))$

Schritt 1.2.3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 27 = 0 (x \cdot 3 + x (- x) + 7 \cdot 3 + 7 (- x))$

Schritt 1.2.3.3.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.3.2.1.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$x + 27 = 0 (3 \cdot x + x (- x) + 7 \cdot 3 + 7 (- x))$

Schritt 1.2.3.3.2.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x + 27 = 0 (3 x - x \cdot x + 7 \cdot 3 + 7 (- x))$

Schritt 1.2.3.3.2.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.3.3.2.1.3.1

Bewege $x$ .

$x + 27 = 0 (3 x - (x \cdot x) + 7 \cdot 3 + 7 (- x))$

Schritt 1.2.3.3.2.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x + 27 = 0 (3 x - x^{2} + 7 \cdot 3 + 7 (- x))$

Schritt 1.2.3.3.2.1.4

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$x + 27 = 0 (3 x - x^{2} + 21 + 7 (- x))$

Schritt 1.2.3.3.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$x + 27 = 0 (3 x - x^{2} + 21 - 7 x)$

Schritt 1.2.3.3.2.2

Subtrahiere $7 x$ von $3 x$ .

$x + 27 = 0 (- 4 x - x^{2} + 21)$

Schritt 1.2.3.3.3

Mutltipliziere $0$ mit $- 4 x - x^{2} + 21$ .

$x + 27 = 0$

Schritt 1.2.4

Subtrahiere $27$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 27$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 27, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = \frac{2}{(0) + 7} + \frac{3}{3 - (0)}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{2}{0 + 7} + \frac{3}{3 - (0)}$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \frac{2}{(0) + 7} + \frac{3}{3 - (0)}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $\frac{2}{(0) + 7} + \frac{3}{3 - (0)}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

Addiere $0$ und $7$ .

$y = \frac{2}{7} + \frac{3}{3 - (0)}$

Schritt 2.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $3 - (0)$ .

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Schritt 2.2.3.1.2.1

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$y = \frac{2}{7} + \frac{3}{- 1 (- 3) - (0)}$

Schritt 2.2.3.1.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 3) - (0)$ heraus.

$y = \frac{2}{7} + \frac{3}{- 1 (- 3 + 0)}$

Schritt 2.2.3.1.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$y = \frac{2}{7} + \frac{3 (1)}{- 1 (- 3 + 0)}$

Schritt 2.2.3.1.2.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.1.2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- 1 (- 3 + 0)$ heraus.

$y = \frac{2}{7} + \frac{3 (1)}{3 (- 1 (- 1 + 0))}$

Schritt 2.2.3.1.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2}{7} + \frac{3 \cdot 1}{3 (- 1 (- 1 + 0))}$

Schritt 2.2.3.1.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{2}{7} + \frac{1}{- 1 (- 1 + 0)}$

Schritt 2.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 2.2.3.1.3.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$y = \frac{2}{7} + \frac{- 1 (- 1)}{- 1 (- 1 + 0)}$

Schritt 2.2.3.1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{2}{7} - \frac{1}{- 1 + 0}$

Schritt 2.2.3.1.4

Addiere $- 1$ und $0$ .

$y = \frac{2}{7} - \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.2.3.1.5

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$y = \frac{2}{7} - - 1$

Schritt 2.2.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2}{7} + 1$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.3.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{2}{7} + \frac{7}{7}$

Schritt 2.2.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{2 + 7}{7}$

Schritt 2.2.3.2.3

Addiere $2$ und $7$ .

$y = \frac{9}{7}$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, \frac{9}{7})$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 27, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, \frac{9}{7})$

Schritt 4