Elementarmathematik Beispiele

$y = \frac{1}{2} x^{2} - x - 6$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = \frac{1}{2} x^{2} - x - 6$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2} x^{2} - x - 6 = 0$ um.

$\frac{1}{2} x^{2} - x - 6 = 0$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} - x - 6 = 0$

Schritt 1.2.3

Multipliziere mit dem Hauptnenner $2$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 1.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 \cdot - 6 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 \cdot - 6 = 0$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot - 6 = 0$

Schritt 1.2.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - 2 x + 2 \cdot - 6 = 0$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$x^{2} - 2 x - 12 = 0$

Schritt 1.2.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = - 12$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

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Schritt 1.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.3

Addiere $4$ und $48$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.4

Schreibe $52$ als $2^{2} \cdot 13$ um.

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Schritt 1.2.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $52$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{2}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{13}$

Schritt 1.2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.7.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

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Schritt 1.2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.3

Addiere $4$ und $48$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.4

Schreibe $52$ als $2^{2} \cdot 13$ um.

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Schritt 1.2.7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $52$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{2}$

Schritt 1.2.7.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{13}$

Schritt 1.2.7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 1 + \sqrt{13}$

Schritt 1.2.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.8.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

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Schritt 1.2.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.3

Addiere $4$ und $48$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.4

Schreibe $52$ als $2^{2} \cdot 13$ um.

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Schritt 1.2.8.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $52$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{2}$

Schritt 1.2.8.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{13}$

Schritt 1.2.8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 1 - \sqrt{13}$

Schritt 1.2.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + \sqrt{13}, 1 - \sqrt{13}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(1 + \sqrt{13}, 0), (1 - \sqrt{13}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{2} - (0) - 6$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (0) - 6$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{2} - (0) - 6$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot {(0)}^{2} - (0) - 6$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot 0 - (0) - 6$

Schritt 2.2.3.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$y = 0 - (0) - 6$

Schritt 2.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - 6$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.3.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 - 6$

Schritt 2.2.3.2.2

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$y = - 6$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 6)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(1 + \sqrt{13}, 0), (1 - \sqrt{13}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 6)$

Schritt 4