Elementarmathematik Beispiele

${(4^{x})}^{2} - 65 \cdot 4^{x} + 64 = 0$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(4^{x})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4^{x \cdot 2} - 65 \cdot 4^{x} + 64 = 0$

Schritt 1.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$4^{2 x} - 65 \cdot 4^{x} + 64 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Schreibe $4^{2 x}$ als ${(4^{x})}^{2}$ um.

${(4^{x})}^{2} - 65 \cdot 4^{x} + 64 = 0$

Schritt 2.2

Es sei $u = 4^{x}$ . Ersetze $u$ für alle $4^{x}$ .

$u^{2} - 65 u + 64 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $u^{2} - 65 u + 64$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $64$ und deren Summe $- 65$ ist.

$- 64, - 1$

Schritt 2.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 64) (u - 1) = 0$

Schritt 2.4

Ersetze alle $u$ durch $4^{x}$ .

$(4^{x} - 64) (4^{x} - 1) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4^{x} - 64 = 0$

$4^{x} - 1 = 0$

Schritt 4

Setze $4^{x} - 64$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $4^{x} - 64$ gleich $0$ .

$4^{x} - 64 = 0$

Schritt 4.2

Löse $4^{x} - 64 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $64$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4^{x} = 64$

Schritt 4.2.2

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$4^{x} = 4^{3}$

Schritt 4.2.3

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = 3$

Schritt 5

Setze $4^{x} - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $4^{x} - 1$ gleich $0$ .

$4^{x} - 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $4^{x} - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4^{x} = 1$

Schritt 5.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (4^{x}) = \ln (1)$

Schritt 5.2.3

Zerlege $\ln (4^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (4) = \ln (1)$

Schritt 5.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.4.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$x \ln (4) = 0$

Schritt 5.2.5

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (4) = 0$ durch $\ln (4)$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (4) = 0$ durch $\ln (4)$ .

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{0}{\ln (4)}$

Schritt 5.2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (4)$ .

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Schritt 5.2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{0}{\ln (4)}$

Schritt 5.2.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (4)}$

Schritt 5.2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.5.3.1

Schreibe $\ln (4)$ als $\ln (2^{2})$ um.

$x = \frac{0}{\ln (2^{2})}$

Schritt 5.2.5.3.2

Zerlege $\ln (2^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$x = \frac{0}{2 \ln (2)}$

Schritt 5.2.5.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 5.2.5.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$x = \frac{2 (0)}{2 \ln (2)}$

Schritt 5.2.5.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.5.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \ln (2)$ heraus.

$x = \frac{2 (0)}{2 (\ln (2))}$

Schritt 5.2.5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 0}{2 \ln (2)}$

Schritt 5.2.5.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{0}{\ln (2)}$

Schritt 5.2.5.3.4

Dividiere $0$ durch $\ln (2)$ .

$x = 0$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4^{x} - 64) (4^{x} - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 3, 0$