Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} - \frac{3}{4} x = \frac{1}{8}$

Schritt 1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 1.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{4}$ .

$x^{2} - \frac{x \cdot 3}{4} = \frac{1}{8}$

Schritt 1.1.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - \frac{3 x}{4} = \frac{1}{8}$

Schritt 1.2

Subtrahiere $\frac{1}{8}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - \frac{3 x}{4} - \frac{1}{8} = 0$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Hauptnenner $8$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x^{2} + 8 (- \frac{3 x}{4}) + 8 (- \frac{1}{8}) = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 x}{4}$ in den Zähler.

$8 x^{2} + 8 (\frac{- 3 x}{4}) + 8 (- \frac{1}{8}) = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$8 x^{2} + 4 (2) (\frac{- 3 x}{4}) + 8 (- \frac{1}{8}) = 0$

Schritt 2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 x^{2} + 4 \cdot (2 (\frac{- 3 x}{4})) + 8 (- \frac{1}{8}) = 0$

Schritt 2.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$8 x^{2} + 2 (- 3 x) + 8 (- \frac{1}{8}) = 0$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$8 x^{2} - 6 x + 8 (- \frac{1}{8}) = 0$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 2.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{8}$ in den Zähler.

$8 x^{2} - 6 x + 8 (\frac{- 1}{8}) = 0$

Schritt 2.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 x^{2} - 6 x + 8 (\frac{- 1}{8}) = 0$

Schritt 2.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$8 x^{2} - 6 x - 1 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 8$ , $b = - 6$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (8 \cdot - 1)}}{2 \cdot 8}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 8}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 8 \cdot - 1$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32 \cdot - 1}}{2 \cdot 8}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 32$ mit $- 1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 32}}{2 \cdot 8}$

Schritt 5.1.3

Addiere $36$ und $32$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2 \cdot 8}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $68$ als $2^{2} \cdot 17$ um.

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Schritt 5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $68$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (17)}}{2 \cdot 8}$

Schritt 5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 8}$

Schritt 5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{17}}{2 \cdot 8}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{17}}{16}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{17}}{16}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{8}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{8}$

Dezimalform:

$x = 0.89038820 \dots, - 0.14038820 \dots$