Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + (2 \sqrt{5}) x + 5 = 0$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $2 \sqrt{5}$ mit $x$ .

$x^{2} + 2 \sqrt{5} x + 5 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2 \sqrt{5}$ und $c = 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \sqrt{5} \pm \sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{5}$ an.

$x = \frac{- 2 \sqrt{5} \pm \sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \sqrt{5} \pm \sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 4.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{- 2 \sqrt{5} \pm \sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- 2 \sqrt{5} \pm \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \frac{- 2 \sqrt{5} \pm \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 2 \sqrt{5} \pm \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 2 \sqrt{5} \pm \sqrt{4 \cdot 5 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{- 2 \sqrt{5} \pm \sqrt{4 \cdot 5 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$x = \frac{- 2 \sqrt{5} \pm \sqrt{20 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Schritt 4.1.5.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \sqrt{5} \pm \sqrt{20 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{- 2 \sqrt{5} \pm \sqrt{20 - 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6

Subtrahiere $20$ von $20$ .

$x = \frac{- 2 \sqrt{5} \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.7

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \sqrt{5} \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 2 \sqrt{5} \pm 0}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.9

$- 2 \sqrt{5}$ plus or minus $0$ is $- 2 \sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{5}$ heraus.

$x = \frac{2 (- \sqrt{5})}{2}$

Schritt 4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = \frac{2 (- \sqrt{5})}{2 (1)}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 (- \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- \sqrt{5}}{1}$

Schritt 4.3.2.4

Dividiere $- \sqrt{5}$ durch $1$ .

$x = - \sqrt{5}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \sqrt{5}$ doppelte Wurzeln