Elementarmathematik Beispiele

$9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

$q = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{2}{9}, \pm 3, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm \frac{4}{9}, \pm 6, \pm 8, \pm \frac{8}{3}, \pm \frac{8}{9}, \pm 12, \pm 24$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$9 {(- 2)}^{4} - 9 {(- 2)}^{3} - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = - 2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$9 \cdot 16 - 9 {(- 2)}^{3} - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $16$ .

$144 - 9 {(- 2)}^{3} - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

Schritt 4.1.3

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$144 - 9 \cdot - 8 - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 8$ .

$144 + 72 - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

Schritt 4.1.5

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$144 + 72 - 58 \cdot 4 + 4 (- 2) + 24$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $- 58$ mit $4$ .

$144 + 72 - 232 + 4 (- 2) + 24$

Schritt 4.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$144 + 72 - 232 - 8 + 24$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Addiere $144$ und $72$ .

$216 - 232 - 8 + 24$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $232$ von $216$ .

$- 16 - 8 + 24$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $8$ von $- 16$ .

$- 24 + 24$

Schritt 4.2.4

Addiere $- 24$ und $24$ .

$0$

Schritt 5

Da $- 2$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x + 2$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24}{x + 2}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(9)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$

	$9$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(9)$ mit dem Divisor $(- 2)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 18)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 9)$ .

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$
	$9$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$
	$9$	$- 27$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 27)$ mit dem Divisor $(- 2)$ und schreibe das Ergebnis von $(54)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 58)$ .

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$
	$9$	$- 27$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$
	$9$	$- 27$	$- 4$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 4)$ mit dem Divisor $(- 2)$ und schreibe das Ergebnis von $(8)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(4)$ .

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$	$8$
	$9$	$- 27$	$- 4$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$	$8$
	$9$	$- 27$	$- 4$	$12$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(12)$ mit dem Divisor $(- 2)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 24)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(24)$ .

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$	$8$	$- 24$
	$9$	$- 27$	$- 4$	$12$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$	$8$	$- 24$
	$9$	$- 27$	$- 4$	$12$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$9 x^{3} + - 27 x^{2} + (- 4) x + 12$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$9 x^{3} - 27 x^{2} - 4 x + 12$

Schritt 7

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 2) (9 x^{3} - 27 x^{2}) - 4 x + 12$

Schritt 7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 2) + 9 x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3)$

$(x + 2) \cdot 9 x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3)$

Schritt 8

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 3$ .

$(x + 2) (x - 3) (9 x^{2} - 4)$

Schritt 9

Schreibe $9 x^{2}$ als ${(3 x)}^{2}$ um.

$(x + 2) (x - 3) ({(3 x)}^{2} - 4)$

Schritt 10

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(x + 2) (x - 3) ({(3 x)}^{2} - 2^{2})$

Schritt 11

Faktorisiere.

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Schritt 11.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3 x$ und $b = 2$ .

$(x + 2) + (x - 3) ((3 x + 2) (3 x - 2))$

Schritt 11.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) + (x - 3) (3 x + 2) (3 x - 2)$

$(x + 2) (x - 3) (3 x + 2) (3 x - 2)$

Schritt 12

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1

Gruppiere die Terme um.

$- 9 x^{3} + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Schritt 12.2

Faktorisiere $- x$ aus $- 9 x^{3} + 4 x$ heraus.

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Schritt 12.2.1

Faktorisiere $- x$ aus $- 9 x^{3}$ heraus.

$- x (9 x^{2}) + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Schritt 12.2.2

Faktorisiere $- x$ aus $4 x$ heraus.

$- x (9 x^{2}) - x \cdot - 4 + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Schritt 12.2.3

Faktorisiere $- x$ aus $- x (9 x^{2}) - x (- 4)$ heraus.

$- x (9 x^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Schritt 12.3

Schreibe $9 x^{2}$ als ${(3 x)}^{2}$ um.

$- x ({(3 x)}^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Schritt 12.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- x ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Schritt 12.5

Faktorisiere.

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Schritt 12.5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3 x$ und $b = 2$ .

$- x ((3 x + 2) (3 x - 2)) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Schritt 12.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Schritt 12.6

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 {(x^{2})}^{2} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Schritt 12.7

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24 = 0$

Schritt 12.8

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 12.8.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 9 \cdot 24 = 216$ und deren Summe gleich $b = - 58$ ist.

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Schritt 12.8.1.1

Faktorisiere $- 58$ aus $- 58 u$ heraus.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24 = 0$

Schritt 12.8.1.2

Schreibe $- 58$ um als $- 4$ plus $- 54$

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} + (- 4 - 54) u + 24 = 0$

Schritt 12.8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24 = 0$

Schritt 12.8.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 12.8.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24 = 0$

Schritt 12.8.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + u (9 u - 4) - 6 (9 u - 4) = 0$

Schritt 12.8.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $9 u - 4$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 u - 4) (u - 6) = 0$

Schritt 12.9

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 x^{2} - 4) (x^{2} - 6) = 0$

Schritt 12.10

Schreibe $9 x^{2}$ als ${(3 x)}^{2}$ um.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 4) (x^{2} - 6) = 0$

Schritt 12.11

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 6) = 0$

Schritt 12.12

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3 x$ und $b = 2$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6) = 0$

Schritt 12.13

Faktorisiere $(3 x + 2) (3 x - 2)$ aus $- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ heraus.

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Schritt 12.13.1

Faktorisiere $(3 x + 2) (3 x - 2)$ aus $- x (3 x + 2) (3 x - 2)$ heraus.

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6) = 0$

Schritt 12.13.2

Faktorisiere $(3 x + 2) (3 x - 2)$ aus $(3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ heraus.

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- x + x^{2} - 6) = 0$

Schritt 12.14

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- u + u^{2} - 6) = 0$

Schritt 12.15

Faktorisiere $- u + u^{2} - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 12.15.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 3, 2$

Schritt 12.15.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(3 x + 2) (3 x - 2) ((u - 3) (u + 2)) = 0$

Schritt 12.16

Faktorisiere.

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Schritt 12.16.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) ((x - 3) (x + 2)) = 0$

Schritt 12.16.2

Entferne unnötige Klammern.

$(3 x + 2) (3 x - 2) (x - 3) (x + 2) = 0$

Schritt 13

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$3 x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 14

Setze $3 x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Setze $3 x + 2$ gleich $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Schritt 14.2

Löse $3 x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 14.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 2$

Schritt 14.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 14.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 14.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 14.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 14.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 14.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Schritt 14.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 14.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 15

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 15.1

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Schritt 15.2

Löse $3 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 15.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 2$

Schritt 15.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 15.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 15.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 15.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 15.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 15.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Schritt 16

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 16.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 16.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 17

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 17.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 17.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 18

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x + 2) (3 x - 2) (x - 3) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, 3, - 2$

Schritt 19