Elementarmathematik Beispiele

$5 x^{3} - 7 x^{2} - 45 x + 63$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 9, \pm 21, \pm 63$

$q = \pm 1, \pm 5$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{5}, \pm 3, \pm \frac{3}{5}, \pm 7, \pm \frac{7}{5}, \pm 9, \pm \frac{9}{5}, \pm 21, \pm \frac{21}{5}, \pm 63, \pm \frac{63}{5}$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$5 {(3)}^{3} - 7 {(3)}^{2} - 45 \cdot 3 + 63$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$5 \cdot 27 - 7 {(3)}^{2} - 45 \cdot 3 + 63$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $27$ .

$135 - 7 {(3)}^{2} - 45 \cdot 3 + 63$

Schritt 4.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$135 - 7 \cdot 9 - 45 \cdot 3 + 63$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $9$ .

$135 - 63 - 45 \cdot 3 + 63$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $- 45$ mit $3$ .

$135 - 63 - 135 + 63$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $63$ von $135$ .

$72 - 135 + 63$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $135$ von $72$ .

$- 63 + 63$

Schritt 4.2.3

Addiere $- 63$ und $63$ .

$0$

Schritt 5

Da $3$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 3$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{5 x^{3} - 7 x^{2} - 45 x + 63}{x - 3}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$3$	$5$	$- 7$	$- 45$	$63$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(5)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$3$	$5$	$- 7$	$- 45$	$63$

	$5$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(5)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(15)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$3$	$5$	$- 7$	$- 45$	$63$
		$15$
	$5$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$5$	$- 7$	$- 45$	$63$
		$15$
	$5$	$8$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(8)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(24)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 45)$ .

$3$	$5$	$- 7$	$- 45$	$63$
		$15$	$24$
	$5$	$8$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$5$	$- 7$	$- 45$	$63$
		$15$	$24$
	$5$	$8$	$- 21$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 21)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 63)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(63)$ .

$3$	$5$	$- 7$	$- 45$	$63$
		$15$	$24$	$- 63$
	$5$	$8$	$- 21$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$5$	$- 7$	$- 45$	$63$
		$15$	$24$	$- 63$
	$5$	$8$	$- 21$	$0$

Schritt 6.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$5 x^{2} + 8 x - 21$

Schritt 7

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 7.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot - 21 = - 105$ und deren Summe gleich $b = 8$ ist.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$(x - 3) + 5 x^{2} + 8 (x) - 21$

Schritt 7.1.2

Schreibe $8$ um als $- 7$ plus $15$

$(x - 3) + 5 x^{2} + (- 7 + 15) x - 21$

Schritt 7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 3) + 5 x^{2} - 7 x + 15 x - 21$

Schritt 7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 3) (5 x^{2} - 7 x) + 15 x - 21$

Schritt 7.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 3) + x (5 x - 7) + 3 (5 x - 7)$

Schritt 7.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x - 7$ .

$(x - 3) + (5 x - 7) (x + 3)$

$(x - 3) (5 x - 7) (x + 3)$

Schritt 8

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 8.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(5 x^{3} - 7 x^{2}) - 45 x + 63 = 0$

Schritt 8.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (5 x - 7) - 9 (5 x - 7) = 0$

Schritt 8.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x - 7$ .

$(5 x - 7) (x^{2} - 9) = 0$

Schritt 8.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$(5 x - 7) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Schritt 8.4

Faktorisiere.

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Schritt 8.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$(5 x - 7) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Schritt 8.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(5 x - 7) (x + 3) (x - 3) = 0$

Schritt 9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5 x - 7 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 10

Setze $5 x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $5 x - 7$ gleich $0$ .

$5 x - 7 = 0$

Schritt 10.2

Löse $5 x - 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 7$

Schritt 10.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 7$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 10.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 7$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{7}{5}$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 10.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{7}{5}$

Schritt 10.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{7}{5}$

Schritt 11

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 11.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 12

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 12.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 13

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(5 x - 7) (x + 3) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{7}{5}, - 3, 3$

Schritt 14