Elementarmathematik Beispiele

$6 x^{2} - 7 x - 20$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{5}{6}, \pm 10, \pm \frac{10}{3}, \pm 20, \pm \frac{20}{3}$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$6 {(\frac{5}{2})}^{2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = \frac{5}{2}$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$6 \frac{5^{2}}{2^{2}} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Schritt 4.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$6 \frac{25}{2^{2}} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Schritt 4.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$6 (\frac{25}{4}) - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Schritt 4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 (3) \frac{25}{4} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Schritt 4.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 \cdot 3 \frac{25}{2 \cdot 2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Schritt 4.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 3 \frac{25}{2 \cdot 2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Schritt 4.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{25}{2}) - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Schritt 4.1.5

Kombiniere $3$ und $\frac{25}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 25}{2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $25$ .

$\frac{75}{2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Schritt 4.1.7

Multipliziere $- 7 (\frac{5}{2})$ .

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Schritt 4.1.7.1

Kombiniere $- 7$ und $\frac{5}{2}$ .

$\frac{75}{2} + \frac{- 7 \cdot 5}{2} - 20$

Schritt 4.1.7.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $5$ .

$\frac{75}{2} + \frac{- 35}{2} - 20$

Schritt 4.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{75}{2} - \frac{35}{2} - 20$

Schritt 4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 20 + \frac{75 - 35}{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $35$ von $75$ .

$- 20 + \frac{40}{2}$

Schritt 4.2.2.2

Dividiere $40$ durch $2$ .

$- 20 + 20$

Schritt 4.2.2.3

Addiere $- 20$ und $20$ .

$0$

Schritt 5

Da $\frac{5}{2}$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - \frac{5}{2}$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{6 x^{2} - 7 x - 20}{x - \frac{5}{2}}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(6)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$

	$6$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(6)$ mit dem Divisor $(\frac{5}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(15)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$
		$15$
	$6$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$
		$15$
	$6$	$8$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(8)$ mit dem Divisor $(\frac{5}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(20)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 20)$ .

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$
		$15$	$20$
	$6$	$8$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$
		$15$	$20$
	$6$	$8$	$0$

Schritt 6.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$(6) x + 8$

Schritt 6.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$6 x + 8$

Schritt 7

Faktorisiere $2$ aus $6 x + 8$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$(x - \frac{5}{2}) (2 (3 x) + 8)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$(x - \frac{5}{2}) (2 (3 x) + 2 (4))$

Schritt 7.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x) + 2 (4)$ heraus.

$(x - \frac{5}{2}) (2 (3 x + 4))$

Schritt 8

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 8.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 6 \cdot - 20 = - 120$ und deren Summe gleich $b = - 7$ ist.

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 x$ heraus.

$6 x^{2} - 7 x - 20 = 0$

Schritt 8.1.2

Schreibe $- 7$ um als $8$ plus $- 15$

$6 x^{2} + (8 - 15) x - 20 = 0$

Schritt 8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{2} + 8 x - 15 x - 20 = 0$

Schritt 8.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 8.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(6 x^{2} + 8 x) - 15 x - 20 = 0$

Schritt 8.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 x (3 x + 4) - 5 (3 x + 4) = 0$

Schritt 8.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 4$ .

$(3 x + 4) (2 x - 5) = 0$

Schritt 9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x + 4 = 0$

$2 x - 5 = 0$

Schritt 10

Setze $3 x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $3 x + 4$ gleich $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Schritt 10.2

Löse $3 x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 4$

Schritt 10.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 10.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 4$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 10.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Schritt 10.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{4}{3}$

Schritt 11

Setze $2 x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $2 x - 5$ gleich $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Schritt 11.2

Löse $2 x - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 5$

Schritt 11.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 11.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 11.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 11.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 12

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x + 4) (2 x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{4}{3}, \frac{5}{2}$

Schritt 13