Elementarmathematik Beispiele

$- 4 x^{2} + 4 x - 1$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$- 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = \frac{1}{2}$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$- 4 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Schritt 4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 4 \frac{1}{2^{2}} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Schritt 4.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 4 (\frac{1}{4}) + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Schritt 4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$4 (- 1) \frac{1}{4} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Schritt 4.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot - 1 \frac{1}{4} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Schritt 4.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Schritt 4.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- 1 + 2 (2) \frac{1}{2} - 1$

Schritt 4.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 1 + 2 \cdot 2 \frac{1}{2} - 1$

Schritt 4.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 + 2 - 1$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Addiere $- 1$ und $2$ .

$1 - 1$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - \frac{1}{2}$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{- 4 x^{2} + 4 x - 1}{x - \frac{1}{2}}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(- 4)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$

	$- 4$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 4)$ mit dem Divisor $(\frac{1}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 2)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(4)$ .

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$
	$- 4$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$
	$- 4$	$2$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(\frac{1}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$	$1$
	$- 4$	$2$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$	$1$
	$- 4$	$2$	$0$

Schritt 6.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$(- 4) x + 2$

Schritt 6.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$- 4 x + 2$

Schritt 7

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x + 2$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x$ heraus.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (- 2 x) + 2)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (- 2 x) + 2 (1))$

Schritt 7.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2 x) + 2 (1)$ heraus.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (- 2 x + 1))$

Schritt 8

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x^{2} + 4 x - 1$ heraus.

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$- (4 x^{2}) + 4 x - 1 = 0$

Schritt 8.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $4 x$ heraus.

$- (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 = 0$

Schritt 8.1.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$- (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 8.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x^{2}) - (- 4 x)$ heraus.

$- (4 x^{2} - 4 x) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 8.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x^{2} - 4 x) - 1 (1)$ heraus.

$- (4 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Schritt 8.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 8.2.1

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$- ({(2 x)}^{2} - 4 x + 1) = 0$

Schritt 8.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- ({(2 x)}^{2} - 4 x + 1^{2}) = 0$

Schritt 8.2.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 1$

Schritt 8.2.4

Schreibe das Polynom neu.

$- ({(2 x)}^{2} - 2 \cdot (2 x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 8.2.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 2 x$ und $b = 1$ .

$- {(2 x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $- {(2 x - 1)}^{2} = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $- {(2 x - 1)}^{2} = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- {(2 x - 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 9.2.2

Dividiere ${(2 x - 1)}^{2}$ durch $1$ .

${(2 x - 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

${(2 x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 10

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 11

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 11.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 11.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 11.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 12