Elementarmathematik Beispiele

$4 x^{4} - 22 x^{3} + 36 x^{2} - 44 x + 56$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm 8, \pm 14, \pm 28, \pm 56$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm \frac{7}{4}, \pm 8, \pm 14, \pm 28, \pm 56$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$4 {(2)}^{4} - 22 {(2)}^{3} + 36 {(2)}^{2} - 44 \cdot 2 + 56$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$4 \cdot 16 - 22 {(2)}^{3} + 36 {(2)}^{2} - 44 \cdot 2 + 56$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$64 - 22 {(2)}^{3} + 36 {(2)}^{2} - 44 \cdot 2 + 56$

Schritt 4.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$64 - 22 \cdot 8 + 36 {(2)}^{2} - 44 \cdot 2 + 56$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 22$ mit $8$ .

$64 - 176 + 36 {(2)}^{2} - 44 \cdot 2 + 56$

Schritt 4.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$64 - 176 + 36 \cdot 4 - 44 \cdot 2 + 56$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $36$ mit $4$ .

$64 - 176 + 144 - 44 \cdot 2 + 56$

Schritt 4.1.7

Mutltipliziere $- 44$ mit $2$ .

$64 - 176 + 144 - 88 + 56$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $176$ von $64$ .

$- 112 + 144 - 88 + 56$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 112$ und $144$ .

$32 - 88 + 56$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $88$ von $32$ .

$- 56 + 56$

Schritt 4.2.4

Addiere $- 56$ und $56$ .

$0$

Schritt 5

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{4 x^{4} - 22 x^{3} + 36 x^{2} - 44 x + 56}{x - 2}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(4)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$

	$4$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(8)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 22)$ .

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$
	$4$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$
	$4$	$- 14$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 14)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 28)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(36)$ .

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$
	$4$	$- 14$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$
	$4$	$- 14$	$8$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(8)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(16)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 44)$ .

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$	$16$
	$4$	$- 14$	$8$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$	$16$
	$4$	$- 14$	$8$	$- 28$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 28)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 56)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(56)$ .

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$	$16$	$- 56$
	$4$	$- 14$	$8$	$- 28$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$	$16$	$- 56$
	$4$	$- 14$	$8$	$- 28$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$4 x^{3} + - 14 x^{2} + (8) x - 28$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$4 x^{3} - 14 x^{2} + 8 x - 28$

Schritt 7

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3} - 14 x^{2} + 8 x - 28$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$(x - 2) (2 (2 x^{3}) - 14 x^{2} + 8 x - 28)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $2$ aus $- 14 x^{2}$ heraus.

$(x - 2) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 7 x^{2}) + 8 x - 28)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $2$ aus $8 x$ heraus.

$(x - 2) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 7 x^{2}) + 2 (4 x) - 28)$

Schritt 7.4

Faktorisiere $2$ aus $- 28$ heraus.

$(x - 2) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 7 x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (- 14))$

Schritt 7.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{3}) + 2 (- 7 x^{2})$ heraus.

$(x - 2) (2 (2 x^{3} - 7 x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (- 14))$

Schritt 7.6

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{3} - 7 x^{2}) + 2 (4 x)$ heraus.

$(x - 2) (2 (2 x^{3} - 7 x^{2} + 4 x) + 2 (- 14))$

Schritt 7.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{3} - 7 x^{2} + 4 x) + 2 (- 14)$ heraus.

$(x - 2) (2 (2 x^{3} - 7 x^{2} + 4 x - 14))$

Schritt 8

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 8.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 2) (2 ((2 x^{3} - 7 x^{2}) + 4 x - 14))$

Schritt 8.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 2) (2 (x^{2} (2 x - 7) + 2 (2 x - 7)))$

Schritt 9

Faktorisiere.

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Schritt 9.1

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 7$ .

$(x - 2) (2 ((2 x - 7) (x^{2} + 2)))$

Schritt 9.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 2) (2 (2 x - 7) (x^{2} + 2))$

Schritt 10

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{4} - 22 x^{3} + 36 x^{2} - 44 x + 56$ heraus.

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Schritt 10.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{4}$ heraus.

$2 (2 x^{4}) - 22 x^{3} + 36 x^{2} - 44 x + 56 = 0$

Schritt 10.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 22 x^{3}$ heraus.

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 36 x^{2} - 44 x + 56 = 0$

Schritt 10.1.3

Faktorisiere $2$ aus $36 x^{2}$ heraus.

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 2 (18 x^{2}) - 44 x + 56 = 0$

Schritt 10.1.4

Faktorisiere $2$ aus $- 44 x$ heraus.

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 2 (18 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 56 = 0$

Schritt 10.1.5

Faktorisiere $2$ aus $56$ heraus.

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 2 (18 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 2 (28) = 0$

Schritt 10.1.6

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3})$ heraus.

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3}) + 2 (18 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 2 (28) = 0$

Schritt 10.1.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{4} - 11 x^{3}) + 2 (18 x^{2})$ heraus.

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 18 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 2 (28) = 0$

Schritt 10.1.8

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 18 x^{2}) + 2 (- 22 x)$ heraus.

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 18 x^{2} - 22 x) + 2 (28) = 0$

Schritt 10.1.9

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 18 x^{2} - 22 x) + 2 (28)$ heraus.

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 18 x^{2} - 22 x + 28) = 0$

Schritt 10.2

Gruppiere die Terme um.

$2 (- 11 x^{3} - 22 x + 2 x^{4} + 18 x^{2} + 28) = 0$

Schritt 10.3

Faktorisiere $- 11 x$ aus $- 11 x^{3} - 22 x$ heraus.

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Schritt 10.3.1

Faktorisiere $- 11 x$ aus $- 11 x^{3}$ heraus.

$2 (- 11 x \cdot x^{2} - 22 x + 2 x^{4} + 18 x^{2} + 28) = 0$

Schritt 10.3.2

Faktorisiere $- 11 x$ aus $- 22 x$ heraus.

$2 (- 11 x \cdot x^{2} - 11 x \cdot 2 + 2 x^{4} + 18 x^{2} + 28) = 0$

Schritt 10.3.3

Faktorisiere $- 11 x$ aus $- 11 x (x^{2}) - 11 x (2)$ heraus.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 x^{4} + 18 x^{2} + 28) = 0$

Schritt 10.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{4} + 18 x^{2} + 28$ heraus.

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Schritt 10.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{4}$ heraus.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{4}) + 18 x^{2} + 28) = 0$

Schritt 10.4.2

Faktorisiere $2$ aus $18 x^{2}$ heraus.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{4}) + 2 (9 x^{2}) + 28) = 0$

Schritt 10.4.3

Faktorisiere $2$ aus $28$ heraus.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 x^{4} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 14) = 0$

Schritt 10.4.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{4} + 2 (9 x^{2})$ heraus.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{4} + 9 x^{2}) + 2 \cdot 14) = 0$

Schritt 10.4.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{4} + 9 x^{2}) + 2 \cdot 14$ heraus.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{4} + 9 x^{2} + 14)) = 0$

Schritt 10.5

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 ({(x^{2})}^{2} + 9 x^{2} + 14)) = 0$

Schritt 10.6

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (u^{2} + 9 u + 14)) = 0$

Schritt 10.7

Faktorisiere $u^{2} + 9 u + 14$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 10.7.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $14$ und deren Summe $9$ ist.

$2, 7$

Schritt 10.7.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 ((u + 2) (u + 7))) = 0$

Schritt 10.8

Faktorisiere.

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Schritt 10.8.1

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 ((x^{2} + 2) (x^{2} + 7))) = 0$

Schritt 10.8.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{2} + 2) (x^{2} + 7)) = 0$

Schritt 10.9

Faktorisiere $x^{2} + 2$ aus $- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{2} + 2) (x^{2} + 7)$ heraus.

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Schritt 10.9.1

Faktorisiere $x^{2} + 2$ aus $- 11 x (x^{2} + 2)$ heraus.

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x) + 2 (x^{2} + 2) (x^{2} + 7)) = 0$

Schritt 10.9.2

Faktorisiere $x^{2} + 2$ aus $2 (x^{2} + 2) (x^{2} + 7)$ heraus.

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x) + (x^{2} + 2) (2 (x^{2} + 7))) = 0$

Schritt 10.9.3

Faktorisiere $x^{2} + 2$ aus $(x^{2} + 2) (- 11 x) + (x^{2} + 2) (2 (x^{2} + 7))$ heraus.

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x + 2 (x^{2} + 7))) = 0$

Schritt 10.10

Wende das Distributivgesetz an.

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x + 2 x^{2} + 2 \cdot 7)) = 0$

Schritt 10.11

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x + 2 x^{2} + 14)) = 0$

Schritt 10.12

Stelle die Terme um.

$2 ((x^{2} + 2) (2 x^{2} - 11 x + 14)) = 0$

Schritt 10.13

Faktorisiere.

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Schritt 10.13.1

Faktorisiere.

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Schritt 10.13.1.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 10.13.1.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 14 = 28$ und deren Summe gleich $b = - 11$ ist.

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Schritt 10.13.1.1.1.1

Faktorisiere $- 11$ aus $- 11 x$ heraus.

$2 ((x^{2} + 2) (2 x^{2} - 11 x + 14)) = 0$

Schritt 10.13.1.1.1.2

Schreibe $- 11$ um als $- 4$ plus $- 7$

$2 ((x^{2} + 2) (2 x^{2} + (- 4 - 7) x + 14)) = 0$

Schritt 10.13.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 ((x^{2} + 2) (2 x^{2} - 4 x - 7 x + 14)) = 0$

Schritt 10.13.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 10.13.1.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 ((x^{2} + 2) ((2 x^{2} - 4 x) - 7 x + 14)) = 0$

Schritt 10.13.1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 ((x^{2} + 2) (2 x (x - 2) - 7 (x - 2))) = 0$

Schritt 10.13.1.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 2$ .

$2 ((x^{2} + 2) ((x - 2) (2 x - 7))) = 0$

Schritt 10.13.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 ((x^{2} + 2) (x - 2) (2 x - 7)) = 0$

Schritt 10.13.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (x^{2} + 2) (x - 2) (2 x - 7) = 0$

Schritt 11

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$2 x - 7 = 0$

Schritt 12

Setze $x^{2} + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x^{2} + 2$ gleich $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Schritt 12.2

Löse $x^{2} + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 2$

Schritt 12.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Schritt 12.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Schritt 12.2.3.1

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Schritt 12.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (2)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Schritt 12.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{2}$

Schritt 12.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 12.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{2}$

Schritt 12.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{2}$

Schritt 12.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Schritt 13

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 13.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 14

Setze $2 x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Setze $2 x - 7$ gleich $0$ .

$2 x - 7 = 0$

Schritt 14.2

Löse $2 x - 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 14.2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 7$

Schritt 14.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 7$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 14.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 7$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Schritt 14.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 14.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Schritt 14.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{7}{2}$

Schritt 15

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (x^{2} + 2) (x - 2) (2 x - 7) = 0$ wahr machen.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, 2, \frac{7}{2}$

Schritt 16