Elementarmathematik Beispiele

$4 x^{4} + 17 x^{3} - 11 x^{2} + 17 x - 15$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{4}, \pm 15, \pm \frac{15}{2}, \pm \frac{15}{4}$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$4 {(\frac{3}{4})}^{4} + 17 {(\frac{3}{4})}^{3} - 11 {(\frac{3}{4})}^{2} + 17 (\frac{3}{4}) - 15$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = \frac{3}{4}$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

$4 \frac{3^{4}}{4^{4}} + 17 {(\frac{3}{4})}^{3} - 11 {(\frac{3}{4})}^{2} + 17 (\frac{3}{4}) - 15$

Schritt 4.1.2

Potenziere $3$ mit $4$ .

$4 \frac{81}{4^{4}} + 17 {(\frac{3}{4})}^{3} - 11 {(\frac{3}{4})}^{2} + 17 (\frac{3}{4}) - 15$

Schritt 4.1.3

Potenziere $4$ mit $4$ .

$4 (\frac{81}{256}) + 17 {(\frac{3}{4})}^{3} - 11 {(\frac{3}{4})}^{2} + 17 (\frac{3}{4}) - 15$

Schritt 4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $256$ heraus.

$4 \frac{81}{4 (64)} + 17 {(\frac{3}{4})}^{3} - 11 {(\frac{3}{4})}^{2} + 17 (\frac{3}{4}) - 15$

Schritt 4.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{81}{4 \cdot 64} + 17 {(\frac{3}{4})}^{3} - 11 {(\frac{3}{4})}^{2} + 17 (\frac{3}{4}) - 15$

Schritt 4.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{81}{64} + 17 {(\frac{3}{4})}^{3} - 11 {(\frac{3}{4})}^{2} + 17 (\frac{3}{4}) - 15$

Schritt 4.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

$\frac{81}{64} + 17 \frac{3^{3}}{4^{3}} - 11 {(\frac{3}{4})}^{2} + 17 (\frac{3}{4}) - 15$

Schritt 4.1.6

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{81}{64} + 17 \frac{27}{4^{3}} - 11 {(\frac{3}{4})}^{2} + 17 (\frac{3}{4}) - 15$

Schritt 4.1.7

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{81}{64} + 17 (\frac{27}{64}) - 11 {(\frac{3}{4})}^{2} + 17 (\frac{3}{4}) - 15$

Schritt 4.1.8

Multipliziere $17 (\frac{27}{64})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.8.1

Kombiniere $17$ und $\frac{27}{64}$ .

$\frac{81}{64} + \frac{17 \cdot 27}{64} - 11 {(\frac{3}{4})}^{2} + 17 (\frac{3}{4}) - 15$

Schritt 4.1.8.2

Mutltipliziere $17$ mit $27$ .

$\frac{81}{64} + \frac{459}{64} - 11 {(\frac{3}{4})}^{2} + 17 (\frac{3}{4}) - 15$

Schritt 4.1.9

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

$\frac{81}{64} + \frac{459}{64} - 11 \frac{3^{2}}{4^{2}} + 17 (\frac{3}{4}) - 15$

Schritt 4.1.10

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{81}{64} + \frac{459}{64} - 11 \frac{9}{4^{2}} + 17 (\frac{3}{4}) - 15$

Schritt 4.1.11

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{81}{64} + \frac{459}{64} - 11 (\frac{9}{16}) + 17 (\frac{3}{4}) - 15$

Schritt 4.1.12

Multipliziere $- 11 (\frac{9}{16})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.12.1

Kombiniere $- 11$ und $\frac{9}{16}$ .

$\frac{81}{64} + \frac{459}{64} + \frac{- 11 \cdot 9}{16} + 17 (\frac{3}{4}) - 15$

Schritt 4.1.12.2

Mutltipliziere $- 11$ mit $9$ .

$\frac{81}{64} + \frac{459}{64} + \frac{- 99}{16} + 17 (\frac{3}{4}) - 15$

Schritt 4.1.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{81}{64} + \frac{459}{64} - \frac{99}{16} + 17 (\frac{3}{4}) - 15$

Schritt 4.1.14

Multipliziere $17 (\frac{3}{4})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.14.1

Kombiniere $17$ und $\frac{3}{4}$ .

$\frac{81}{64} + \frac{459}{64} - \frac{99}{16} + \frac{17 \cdot 3}{4} - 15$

Schritt 4.1.14.2

Mutltipliziere $17$ mit $3$ .

$\frac{81}{64} + \frac{459}{64} - \frac{99}{16} + \frac{51}{4} - 15$

Schritt 4.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 15 + \frac{81 + 459}{64} + \frac{- 99}{16} + \frac{51}{4}$

Schritt 4.2.2

Addiere $81$ und $459$ .

$- 15 + \frac{540}{64} + \frac{- 99}{16} + \frac{51}{4}$

Schritt 4.3

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Schreibe $- 15$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 15}{1} + \frac{540}{64} + \frac{- 99}{16} + \frac{51}{4}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $\frac{- 15}{1}$ mit $\frac{64}{64}$ .

$\frac{- 15}{1} \cdot \frac{64}{64} + \frac{540}{64} + \frac{- 99}{16} + \frac{51}{4}$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $\frac{- 15}{1}$ mit $\frac{64}{64}$ .

$\frac{- 15 \cdot 64}{64} + \frac{540}{64} + \frac{- 99}{16} + \frac{51}{4}$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $\frac{- 99}{16}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 15 \cdot 64}{64} + \frac{540}{64} + \frac{- 99}{16} \cdot \frac{4}{4} + \frac{51}{4}$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $\frac{- 99}{16}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 15 \cdot 64}{64} + \frac{540}{64} + \frac{- 99 \cdot 4}{16 \cdot 4} + \frac{51}{4}$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $\frac{51}{4}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$\frac{- 15 \cdot 64}{64} + \frac{540}{64} + \frac{- 99 \cdot 4}{16 \cdot 4} + \frac{51}{4} \cdot \frac{16}{16}$

Schritt 4.3.7

Mutltipliziere $\frac{51}{4}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$\frac{- 15 \cdot 64}{64} + \frac{540}{64} + \frac{- 99 \cdot 4}{16 \cdot 4} + \frac{51 \cdot 16}{4 \cdot 16}$

Schritt 4.3.8

Stelle die Faktoren von $16 \cdot 4$ um.

$\frac{- 15 \cdot 64}{64} + \frac{540}{64} + \frac{- 99 \cdot 4}{4 \cdot 16} + \frac{51 \cdot 16}{4 \cdot 16}$

Schritt 4.3.9

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$\frac{- 15 \cdot 64}{64} + \frac{540}{64} + \frac{- 99 \cdot 4}{64} + \frac{51 \cdot 16}{4 \cdot 16}$

Schritt 4.3.10

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$\frac{- 15 \cdot 64}{64} + \frac{540}{64} + \frac{- 99 \cdot 4}{64} + \frac{51 \cdot 16}{64}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 15 \cdot 64 + 540 - 99 \cdot 4 + 51 \cdot 16}{64}$

Schritt 4.5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 15$ mit $64$ .

$\frac{- 960 + 540 - 99 \cdot 4 + 51 \cdot 16}{64}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $- 99$ mit $4$ .

$\frac{- 960 + 540 - 396 + 51 \cdot 16}{64}$

Schritt 4.5.3

Mutltipliziere $51$ mit $16$ .

$\frac{- 960 + 540 - 396 + 816}{64}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1

Addiere $- 960$ und $540$ .

$\frac{- 420 - 396 + 816}{64}$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $396$ von $- 420$ .

$\frac{- 816 + 816}{64}$

Schritt 4.6.3

Addiere $- 816$ und $816$ .

$\frac{0}{64}$

Schritt 4.6.4

Dividiere $0$ durch $64$ .

$0$

Schritt 5

Da $\frac{3}{4}$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - \frac{3}{4}$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{4 x^{4} + 17 x^{3} - 11 x^{2} + 17 x - 15}{x - \frac{3}{4}}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$\frac{3}{4}$	$4$	$17$	$- 11$	$17$	$- 15$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(4)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$\frac{3}{4}$	$4$	$17$	$- 11$	$17$	$- 15$

	$4$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(\frac{3}{4})$ und schreibe das Ergebnis von $(3)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(17)$ .

$\frac{3}{4}$	$4$	$17$	$- 11$	$17$	$- 15$
		$3$
	$4$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{3}{4}$	$4$	$17$	$- 11$	$17$	$- 15$
		$3$
	$4$	$20$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(20)$ mit dem Divisor $(\frac{3}{4})$ und schreibe das Ergebnis von $(15)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 11)$ .

$\frac{3}{4}$	$4$	$17$	$- 11$	$17$	$- 15$
		$3$	$15$
	$4$	$20$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{3}{4}$	$4$	$17$	$- 11$	$17$	$- 15$
		$3$	$15$
	$4$	$20$	$4$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(\frac{3}{4})$ und schreibe das Ergebnis von $(3)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(17)$ .

$\frac{3}{4}$	$4$	$17$	$- 11$	$17$	$- 15$
		$3$	$15$	$3$
	$4$	$20$	$4$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{3}{4}$	$4$	$17$	$- 11$	$17$	$- 15$
		$3$	$15$	$3$
	$4$	$20$	$4$	$20$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(20)$ mit dem Divisor $(\frac{3}{4})$ und schreibe das Ergebnis von $(15)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 15)$ .

$\frac{3}{4}$	$4$	$17$	$- 11$	$17$	$- 15$
		$3$	$15$	$3$	$15$
	$4$	$20$	$4$	$20$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{3}{4}$	$4$	$17$	$- 11$	$17$	$- 15$
		$3$	$15$	$3$	$15$
	$4$	$20$	$4$	$20$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$4 x^{3} + 20 x^{2} + (4) x + 20$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$4 x^{3} + 20 x^{2} + 4 x + 20$

Schritt 7

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3} + 20 x^{2} + 4 x + 20$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$(x - \frac{3}{4}) (4 (x^{3}) + 20 x^{2} + 4 x + 20)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $4$ aus $20 x^{2}$ heraus.

$(x - \frac{3}{4}) (4 (x^{3}) + 4 (5 x^{2}) + 4 x + 20)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$(x - \frac{3}{4}) (4 (x^{3}) + 4 (5 x^{2}) + 4 (x) + 20)$

Schritt 7.4

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$(x - \frac{3}{4}) (4 (x^{3}) + 4 (5 x^{2}) + 4 x + 4 \cdot 5)$

Schritt 7.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{3}) + 4 (5 x^{2})$ heraus.

$(x - \frac{3}{4}) (4 (x^{3} + 5 x^{2}) + 4 x + 4 \cdot 5)$

Schritt 7.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{3} + 5 x^{2}) + 4 x$ heraus.

$(x - \frac{3}{4}) (4 (x^{3} + 5 x^{2} + x) + 4 \cdot 5)$

Schritt 7.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{3} + 5 x^{2} + x) + 4 \cdot 5$ heraus.

$(x - \frac{3}{4}) (4 (x^{3} + 5 x^{2} + x + 5))$

Schritt 8

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - \frac{3}{4}) (4 ((x^{3} + 5 x^{2}) + x + 5))$

Schritt 8.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - \frac{3}{4}) (4 (x^{2} (x + 5) + 1 (x + 5)))$

Schritt 9

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 5$ .

$(x - \frac{3}{4}) (4 ((x + 5) (x^{2} + 1)))$

Schritt 9.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - \frac{3}{4}) (4 (x + 5) (x^{2} + 1))$

Schritt 10

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Gruppiere die Terme um.

$17 x^{3} + 17 x + 4 x^{4} - 11 x^{2} - 15 = 0$

Schritt 10.2

Faktorisiere $17 x$ aus $17 x^{3} + 17 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Faktorisiere $17 x$ aus $17 x^{3}$ heraus.

$17 x (x^{2}) + 17 x + 4 x^{4} - 11 x^{2} - 15 = 0$

Schritt 10.2.2

Faktorisiere $17 x$ aus $17 x$ heraus.

$17 x (x^{2}) + 17 x (1) + 4 x^{4} - 11 x^{2} - 15 = 0$

Schritt 10.2.3

Faktorisiere $17 x$ aus $17 x (x^{2}) + 17 x (1)$ heraus.

$17 x (x^{2} + 1) + 4 x^{4} - 11 x^{2} - 15 = 0$

Schritt 10.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$17 x (x^{2} + 1) + 4 {(x^{2})}^{2} - 11 x^{2} - 15 = 0$

Schritt 10.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$17 x (x^{2} + 1) + 4 u^{2} - 11 u - 15 = 0$

Schritt 10.5

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 15 = - 60$ und deren Summe gleich $b = - 11$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.5.1.1

Faktorisiere $- 11$ aus $- 11 u$ heraus.

$17 x (x^{2} + 1) + 4 u^{2} - 11 u - 15 = 0$

Schritt 10.5.1.2

Schreibe $- 11$ um als $4$ plus $- 15$

$17 x (x^{2} + 1) + 4 u^{2} + (4 - 15) u - 15 = 0$

Schritt 10.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$17 x (x^{2} + 1) + 4 u^{2} + 4 u - 15 u - 15 = 0$

Schritt 10.5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$17 x (x^{2} + 1) + 4 u^{2} + 4 u - 15 u - 15 = 0$

Schritt 10.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$17 x (x^{2} + 1) + 4 u (u + 1) - 15 (u + 1) = 0$

Schritt 10.5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $u + 1$ .

$17 x (x^{2} + 1) + (u + 1) (4 u - 15) = 0$

Schritt 10.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$17 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (4 x^{2} - 15) = 0$

Schritt 10.7

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $17 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (4 x^{2} - 15)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.7.1

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $17 x (x^{2} + 1)$ heraus.

$(x^{2} + 1) (17 x) + (x^{2} + 1) (4 x^{2} - 15) = 0$

Schritt 10.7.2

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $(x^{2} + 1) (17 x) + (x^{2} + 1) (4 x^{2} - 15)$ heraus.

$(x^{2} + 1) (17 x + 4 x^{2} - 15) = 0$

Schritt 10.8

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x^{2} + 1) (17 u + 4 u^{2} - 15) = 0$

Schritt 10.9

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.9.1

Stelle die Terme um.

$(x^{2} + 1) (4 u^{2} + 17 u - 15) = 0$

Schritt 10.9.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 15 = - 60$ und deren Summe gleich $b = 17$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.9.2.1

Faktorisiere $17$ aus $17 u$ heraus.

$(x^{2} + 1) (4 u^{2} + 17 (u) - 15) = 0$

Schritt 10.9.2.2

Schreibe $17$ um als $- 3$ plus $20$

$(x^{2} + 1) (4 u^{2} + (- 3 + 20) u - 15) = 0$

Schritt 10.9.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} + 1) (4 u^{2} - 3 u + 20 u - 15) = 0$

Schritt 10.9.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.9.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{2} + 1) ((4 u^{2} - 3 u) + 20 u - 15) = 0$

Schritt 10.9.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x^{2} + 1) (u (4 u - 3) + 5 (4 u - 3)) = 0$

Schritt 10.9.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 u - 3$ .

$(x^{2} + 1) ((4 u - 3) (u + 5)) = 0$

Schritt 10.10

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.10.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x^{2} + 1) ((4 x - 3) (x + 5)) = 0$

Schritt 10.10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} + 1) (4 x - 3) (x + 5) = 0$

Schritt 11

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$4 x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 12

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 12.2

Löse $x^{2} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 12.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 12.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 12.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 12.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 12.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 13

Setze $4 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Setze $4 x - 3$ gleich $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Schritt 13.2

Löse $4 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 3$

Schritt 13.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 3$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 3$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 13.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 13.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Schritt 14

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 14.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 15

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} + 1) (4 x - 3) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = i, - i, \frac{3}{4}, - 5$

Schritt 16