Elementarmathematik Beispiele

$4 x^{5} - 8 x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + x - 2$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$4 {(1)}^{5} - 8 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{3} + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Entferne die Klammern.

$4 {(1)}^{5} - 8 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{3} + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 \cdot 1 - 8 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{3} + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 - 8 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{3} + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

Schritt 4.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 - 8 \cdot 1 - 5 {(1)}^{3} + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

Schritt 4.2.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$4 - 8 - 5 {(1)}^{3} + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

Schritt 4.2.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 - 8 - 5 \cdot 1 + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

Schritt 4.2.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$4 - 8 - 5 + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

Schritt 4.2.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 - 8 - 5 + 10 \cdot 1 + 1 - 2$

Schritt 4.2.8

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$4 - 8 - 5 + 10 + 1 - 2$

Schritt 4.3

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$- 4 - 5 + 10 + 1 - 2$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $5$ von $- 4$ .

$- 9 + 10 + 1 - 2$

Schritt 4.3.3

Addiere $- 9$ und $10$ .

$1 + 1 - 2$

Schritt 4.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 - 2$

Schritt 4.3.5

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$0$

Schritt 5

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{4 x^{5} - 8 x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + x - 2}{x - 1}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(4)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$

	$4$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(4)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 8)$ .

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$
	$4$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$
	$4$	$- 4$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 4)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 4)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 5)$ .

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$
	$4$	$- 4$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$
	$4$	$- 4$	$- 9$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 9)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 9)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(10)$ .

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$	$- 9$
	$4$	$- 4$	$- 9$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$	$- 9$
	$4$	$- 4$	$- 9$	$1$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(1)$ .

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$	$- 9$	$1$
	$4$	$- 4$	$- 9$	$1$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$	$- 9$	$1$
	$4$	$- 4$	$- 9$	$1$	$2$

Schritt 6.11

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(2)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 2)$ .

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$	$- 9$	$1$	$2$
	$4$	$- 4$	$- 9$	$1$	$2$

Schritt 6.12

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$	$- 9$	$1$	$2$
	$4$	$- 4$	$- 9$	$1$	$2$	$0$

Schritt 6.13

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$4 x^{4} + - 4 x^{3} - 9 x^{2} + 1 x + 2$

Schritt 6.14

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$4 x^{4} - 4 x^{3} - 9 x^{2} + x + 2$

Schritt 7

Löse die Gleichung, um sämtliche verbleibenden Wurzeln zu ermitteln.

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Schritt 7.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Gruppiere die Terme um.

$- 4 x^{3} + x + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $- x$ aus $- 4 x^{3} + x$ heraus.

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Schritt 7.1.2.1

Faktorisiere $- x$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$- x (4 x^{2}) + x + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Schritt 7.1.2.2

Schreibe $x$ als $1 x$ um.

$- x (4 x^{2}) + 1 x + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Schritt 7.1.2.3

Faktorisiere $- x$ aus $1 x$ heraus.

$- x (4 x^{2}) - x \cdot - 1 + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Schritt 7.1.2.4

Faktorisiere $- x$ aus $- x (4 x^{2}) - x (- 1)$ heraus.

$- x (4 x^{2} - 1) + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Schritt 7.1.3

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$- x ({(2 x)}^{2} - 1) + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Schritt 7.1.4

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- x ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Schritt 7.1.5

Faktorisiere.

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Schritt 7.1.5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x$ und $b = 1$ .

$- x ((2 x + 1) (2 x - 1)) + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Schritt 7.1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Schritt 7.1.6

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 {(x^{2})}^{2} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Schritt 7.1.7

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 9 u + 2 = 0$

Schritt 7.1.8

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 7.1.8.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 2 = 8$ und deren Summe gleich $b = - 9$ ist.

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Schritt 7.1.8.1.1

Faktorisiere $- 9$ aus $- 9 u$ heraus.

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 9 u + 2 = 0$

Schritt 7.1.8.1.2

Schreibe $- 9$ um als $- 1$ plus $- 8$

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + (- 1 - 8) u + 2 = 0$

Schritt 7.1.8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u - 8 u + 2 = 0$

Schritt 7.1.8.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.1.8.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u - 8 u + 2 = 0$

Schritt 7.1.8.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + u (4 u - 1) - 2 (4 u - 1) = 0$

Schritt 7.1.8.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 u - 1$ .

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 u - 1) (u - 2) = 0$

Schritt 7.1.9

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 x^{2} - 1) (x^{2} - 2) = 0$

Schritt 7.1.10

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + ({(2 x)}^{2} - 1) (x^{2} - 2) = 0$

Schritt 7.1.11

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} - 2) = 0$

Schritt 7.1.12

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x$ und $b = 1$ .

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} - 2) = 0$

Schritt 7.1.13

Faktorisiere $(2 x + 1) (2 x - 1)$ aus $- x (2 x + 1) (2 x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} - 2)$ heraus.

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Schritt 7.1.13.1

Faktorisiere $(2 x + 1) (2 x - 1)$ aus $- x (2 x + 1) (2 x - 1)$ heraus.

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- x) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} - 2) = 0$

Schritt 7.1.13.2

Faktorisiere $(2 x + 1) (2 x - 1)$ aus $(2 x + 1) (2 x - 1) (- x) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} - 2)$ heraus.

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- x + x^{2} - 2) = 0$

Schritt 7.1.14

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- u + u^{2} - 2) = 0$

Schritt 7.1.15

Faktorisiere $- u + u^{2} - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.1.15.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 2, 1$

Schritt 7.1.15.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(2 x + 1) (2 x - 1) ((u - 2) (u + 1)) = 0$

Schritt 7.1.16

Faktorisiere.

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Schritt 7.1.16.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Schritt 7.1.16.2

Entferne unnötige Klammern.

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x - 2) (x + 1) = 0$

Schritt 7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 7.3

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 7.3.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 7.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 7.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 7.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 7.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 7.4

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.4.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 7.4.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 7.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 7.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 7.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 7.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 7.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 7.6

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.6.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 7.6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 7.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x + 1) (2 x - 1) (x - 2) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 2, - 1$

Schritt 8

Das Polynom kann als ein Satz Linearfaktoren geschrieben werden.

$(x - 1) (x + \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{2}) (x - 2) (x + 1)$

Schritt 9

Das sind die Wurzeln des Polynoms $4 x^{5} - 8 x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + x - 2$ .

$x = 1, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 2, - 1$

Schritt 10