Elementarmathematik Beispiele

$2 x^{4} + x^{3} - 17 x^{2} - 4 x + 6$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 6$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$2 {(\frac{1}{2})}^{4} + {(\frac{1}{2})}^{3} - 17 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = \frac{1}{2}$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$2 \frac{1^{4}}{2^{4}} + {(\frac{1}{2})}^{3} - 17 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Schritt 4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 \frac{1}{2^{4}} + {(\frac{1}{2})}^{3} - 17 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Schritt 4.1.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$2 (\frac{1}{16}) + {(\frac{1}{2})}^{3} - 17 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Schritt 4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$2 \frac{1}{2 (8)} + {(\frac{1}{2})}^{3} - 17 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Schritt 4.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{1}{2 \cdot 8} + {(\frac{1}{2})}^{3} - 17 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Schritt 4.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{8} + {(\frac{1}{2})}^{3} - 17 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Schritt 4.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{1}{8} + \frac{1^{3}}{2^{3}} - 17 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Schritt 4.1.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{8} + \frac{1}{2^{3}} - 17 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Schritt 4.1.7

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} - 17 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Schritt 4.1.8

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} - 17 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Schritt 4.1.9

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} - 17 \frac{1}{2^{2}} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Schritt 4.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} - 17 (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Schritt 4.1.11

Kombiniere $- 17$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{- 17}{4} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Schritt 4.1.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{17}{4} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Schritt 4.1.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.13.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{17}{4} + 2 (- 2) \frac{1}{2} + 6$

Schritt 4.1.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{17}{4} + 2 \cdot - 2 \frac{1}{2} + 6$

Schritt 4.1.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{17}{4} - 2 + 6$

Schritt 4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 2 + 6 + \frac{1 + 1}{8} + \frac{- 17}{4}$

Schritt 4.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$- 2 + 6 + \frac{2}{8} + \frac{- 17}{4}$

Schritt 4.3

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.3.1

Schreibe $- 2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 2}{1} + 6 + \frac{2}{8} + \frac{- 17}{4}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2}{1} \cdot \frac{8}{8} + 6 + \frac{2}{8} + \frac{- 17}{4}$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + 6 + \frac{2}{8} + \frac{- 17}{4}$

Schritt 4.3.4

Schreibe $6$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{6}{1} + \frac{2}{8} + \frac{- 17}{4}$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $\frac{6}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{6}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{2}{8} + \frac{- 17}{4}$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $\frac{6}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{6 \cdot 8}{8} + \frac{2}{8} + \frac{- 17}{4}$

Schritt 4.3.7

Mutltipliziere $\frac{- 17}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{6 \cdot 8}{8} + \frac{2}{8} + \frac{- 17}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 4.3.8

Mutltipliziere $\frac{- 17}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{6 \cdot 8}{8} + \frac{2}{8} + \frac{- 17 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Schritt 4.3.9

Stelle die Faktoren von $4 \cdot 2$ um.

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{6 \cdot 8}{8} + \frac{2}{8} + \frac{- 17 \cdot 2}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.3.10

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{6 \cdot 8}{8} + \frac{2}{8} + \frac{- 17 \cdot 2}{8}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 \cdot 8 + 6 \cdot 8 + 2 - 17 \cdot 2}{8}$

Schritt 4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $8$ .

$\frac{- 16 + 6 \cdot 8 + 2 - 17 \cdot 2}{8}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $6$ mit $8$ .

$\frac{- 16 + 48 + 2 - 17 \cdot 2}{8}$

Schritt 4.5.3

Mutltipliziere $- 17$ mit $2$ .

$\frac{- 16 + 48 + 2 - 34}{8}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.6.1

Addiere $- 16$ und $48$ .

$\frac{32 + 2 - 34}{8}$

Schritt 4.6.2

Addiere $32$ und $2$ .

$\frac{34 - 34}{8}$

Schritt 4.6.3

Subtrahiere $34$ von $34$ .

$\frac{0}{8}$

Schritt 4.6.4

Dividiere $0$ durch $8$ .

$0$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - \frac{1}{2}$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{4} + x^{3} - 17 x^{2} - 4 x + 6}{x - \frac{1}{2}}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$\frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 17$	$- 4$	$6$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$\frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 17$	$- 4$	$6$

	$2$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(\frac{1}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(1)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 17$	$- 4$	$6$
		$1$
	$2$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 17$	$- 4$	$6$
		$1$
	$2$	$2$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(\frac{1}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 17)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 17$	$- 4$	$6$
		$1$	$1$
	$2$	$2$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 17$	$- 4$	$6$
		$1$	$1$
	$2$	$2$	$- 16$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 16)$ mit dem Divisor $(\frac{1}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 8)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 4)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 17$	$- 4$	$6$
		$1$	$1$	$- 8$
	$2$	$2$	$- 16$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 17$	$- 4$	$6$
		$1$	$1$	$- 8$
	$2$	$2$	$- 16$	$- 12$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 12)$ mit dem Divisor $(\frac{1}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 6)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(6)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 17$	$- 4$	$6$
		$1$	$1$	$- 8$	$- 6$
	$2$	$2$	$- 16$	$- 12$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 17$	$- 4$	$6$
		$1$	$1$	$- 8$	$- 6$
	$2$	$2$	$- 16$	$- 12$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$2 x^{3} + 2 x^{2} + (- 16) x - 12$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$2 x^{3} + 2 x^{2} - 16 x - 12$

Schritt 7

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3} + 2 x^{2} - 16 x - 12$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 x^{2} - 16 x - 12)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (x^{2}) - 16 x - 12)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $2$ aus $- 16 x$ heraus.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (x^{2}) + 2 (- 8 x) - 12)$

Schritt 7.4

Faktorisiere $2$ aus $- 12$ heraus.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot - 6)$

Schritt 7.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{3}) + 2 x^{2}$ heraus.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} + x^{2}) + 2 (- 8 x) + 2 \cdot - 6)$

Schritt 7.6

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{3} + x^{2}) + 2 (- 8 x)$ heraus.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} + x^{2} - 8 x) + 2 \cdot - 6)$

Schritt 7.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{3} + x^{2} - 8 x) + 2 \cdot - 6$ heraus.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} + x^{2} - 8 x - 6))$

Schritt 8

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $2 x^{4} + x^{3} - 17 x^{2} - 4 x + 6$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 8.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 8.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

Schritt 8.1.3

Setze $0.5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $0.5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 8.1.3.1

Setze $0.5$ in das Polynom ein.

$2 \cdot {0.5}^{4} + {0.5}^{3} - 17 \cdot {0.5}^{2} - 4 \cdot 0.5 + 6$

Schritt 8.1.3.2

Potenziere $0.5$ mit $4$ .

$2 \cdot 0.0625 + {0.5}^{3} - 17 \cdot {0.5}^{2} - 4 \cdot 0.5 + 6$

Schritt 8.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $0.0625$ .

$0.125 + {0.5}^{3} - 17 \cdot {0.5}^{2} - 4 \cdot 0.5 + 6$

Schritt 8.1.3.4

Potenziere $0.5$ mit $3$ .

$0.125 + 0.125 - 17 \cdot {0.5}^{2} - 4 \cdot 0.5 + 6$

Schritt 8.1.3.5

Addiere $0.125$ und $0.125$ .

$0.25 - 17 \cdot {0.5}^{2} - 4 \cdot 0.5 + 6$

Schritt 8.1.3.6

Potenziere $0.5$ mit $2$ .

$0.25 - 17 \cdot 0.25 - 4 \cdot 0.5 + 6$

Schritt 8.1.3.7

Mutltipliziere $- 17$ mit $0.25$ .

$0.25 - 4.25 - 4 \cdot 0.5 + 6$

Schritt 8.1.3.8

Subtrahiere $4.25$ von $0.25$ .

$- 4 - 4 \cdot 0.5 + 6$

Schritt 8.1.3.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $0.5$ .

$- 4 - 2 + 6$

Schritt 8.1.3.10

Subtrahiere $2$ von $- 4$ .

$- 6 + 6$

Schritt 8.1.3.11

Addiere $- 6$ und $6$ .

$0$

Schritt 8.1.4

Da $0.5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $2 x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{4} + x^{3} - 17 x^{2} - 4 x + 6}{2 x - 1}$

Schritt 8.1.5

Dividiere $2 x^{4} + x^{3} - 17 x^{2} - 4 x + 6$ durch $2 x - 1$ .

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Schritt 8.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

Schritt 8.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

Schritt 8.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

Schritt 8.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{4} - x^{3}$

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

Schritt 8.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

Schritt 8.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

Schritt 8.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

Schritt 8.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

Schritt 8.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{3} - x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

Schritt 8.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$16 x^{2}$

Schritt 8.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$16 x^{2}$

$4 x$

Schritt 8.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 16 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$16 x^{2}$

$4 x$

Schritt 8.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$16 x^{2}$

$4 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

Schritt 8.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 16 x^{2} + 8 x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$16 x^{2}$

$4 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

Schritt 8.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$16 x^{2}$

$4 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

Schritt 8.1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$16 x^{2}$

$4 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$6$

Schritt 8.1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 12 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$6$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$16 x^{2}$

$4 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$6$

Schritt 8.1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$6$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$16 x^{2}$

$4 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$6$

$12 x$

$6$

Schritt 8.1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 12 x + 6$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$6$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$16 x^{2}$

$4 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$6$

$12 x$

$6$

Schritt 8.1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$6$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$16 x^{2}$

$4 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$6$

$12 x$

$6$

$0$

Schritt 8.1.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{3} + x^{2} - 8 x - 6$

Schritt 8.1.6

Schreibe $2 x^{4} + x^{3} - 17 x^{2} - 4 x + 6$ als eine Menge von Faktoren.

$(2 x - 1) (x^{3} + x^{2} - 8 x - 6) = 0$

Schritt 8.2

Faktorisiere $x^{3} + x^{2} - 8 x - 6$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $x^{3} + x^{2} - 8 x - 6$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Schritt 8.2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Schritt 8.2.1.3

Setze $- 3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 8.2.1.3.1

Setze $- 3$ in das Polynom ein.

${(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{2} - 8 \cdot - 3 - 6$

Schritt 8.2.1.3.2

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$- 27 + {(- 3)}^{2} - 8 \cdot - 3 - 6$

Schritt 8.2.1.3.3

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$- 27 + 9 - 8 \cdot - 3 - 6$

Schritt 8.2.1.3.4

Addiere $- 27$ und $9$ .

$- 18 - 8 \cdot - 3 - 6$

Schritt 8.2.1.3.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 3$ .

$- 18 + 24 - 6$

Schritt 8.2.1.3.6

Addiere $- 18$ und $24$ .

$6 - 6$

Schritt 8.2.1.3.7

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$0$

Schritt 8.2.1.4

Da $- 3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 8 x - 6}{x + 3}$

Schritt 8.2.1.5

Dividiere $x^{3} + x^{2} - 8 x - 6$ durch $x + 3$ .

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Schritt 8.2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$6$

Schritt 8.2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$

Schritt 8.2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Schritt 8.2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Schritt 8.2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Schritt 8.2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$8 x$

Schritt 8.2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$8 x$

Schritt 8.2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$6 x$

Schritt 8.2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x^{2} - 6 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Schritt 8.2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$2 x$

Schritt 8.2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$2 x$	-	$6$

Schritt 8.2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$2$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$2 x$	-	$6$

Schritt 8.2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$2$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$2 x$	-	$6$
							-	$2 x$	-	$6$

Schritt 8.2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x - 6$

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$2$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$2 x$	-	$6$
							+	$2 x$	+	$6$

Schritt 8.2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$2$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$2 x$	-	$6$
							+	$2 x$	+	$6$
										$0$

Schritt 8.2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 2 x - 2$

Schritt 8.2.1.6

Schreibe $x^{3} + x^{2} - 8 x - 6$ als eine Menge von Faktoren.

$(2 x - 1) ((x + 3) (x^{2} - 2 x - 2)) = 0$

Schritt 8.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(2 x - 1) (x + 3) (x^{2} - 2 x - 2) = 0$

Schritt 9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

$x^{2} - 2 x - 2 = 0$

Schritt 10

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 10.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 10.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 10.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 11

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 11.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 12

Setze $x^{2} - 2 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Setze $x^{2} - 2 x - 2$ gleich $0$ .

$x^{2} - 2 x - 2 = 0$

Schritt 12.2

Löse $x^{2} - 2 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 12.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = - 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.3

Vereinfache.

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Schritt 12.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.3.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.3.1.3

Addiere $4$ und $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.3.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 12.2.3.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Schritt 12.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 12.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.2.4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.4.1.3

Addiere $4$ und $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.4.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 12.2.4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Schritt 12.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 1 + \sqrt{3}$

Schritt 12.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 12.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.5.1.3

Addiere $4$ und $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.5.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 12.2.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Schritt 12.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 1 - \sqrt{3}$

Schritt 12.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}$

Schritt 13

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 1) (x + 3) (x^{2} - 2 x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{2}, - 3, 1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1}{2}, - 3, 1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}$

Dezimalform:

$x = 0.5, - 3, 2.73205080 \dots, - 0.73205080 \dots$

Schritt 15