Elementarmathematik Beispiele

$2 x^{4} - x^{3} - 26 x^{2} - 11 x + 12$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$2 {(- 1)}^{4} - {(- 1)}^{3} - 26 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 + 12$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = - 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$2 \cdot 1 - {(- 1)}^{3} - 26 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 + 12$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 - {(- 1)}^{3} - 26 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 + 12$

Schritt 4.1.3

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{3}$ .

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Schritt 4.1.3.1.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$2 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{3} - 26 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 + 12$

Schritt 4.1.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 + {(- 1)}^{1 + 3} - 26 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 + 12$

Schritt 4.1.3.2

Addiere $1$ und $3$ .

$2 + {(- 1)}^{4} - 26 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 + 12$

Schritt 4.1.4

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$2 + 1 - 26 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 + 12$

Schritt 4.1.5

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$2 + 1 - 26 \cdot 1 - 11 \cdot - 1 + 12$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $- 26$ mit $1$ .

$2 + 1 - 26 - 11 \cdot - 1 + 12$

Schritt 4.1.7

Mutltipliziere $- 11$ mit $- 1$ .

$2 + 1 - 26 + 11 + 12$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Addiere $2$ und $1$ .

$3 - 26 + 11 + 12$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $26$ von $3$ .

$- 23 + 11 + 12$

Schritt 4.2.3

Addiere $- 23$ und $11$ .

$- 12 + 12$

Schritt 4.2.4

Addiere $- 12$ und $12$ .

$0$

Schritt 5

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{4} - x^{3} - 26 x^{2} - 11 x + 12}{x + 1}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 1$	$2$	$- 1$	$- 26$	$- 11$	$12$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 1$	$2$	$- 1$	$- 26$	$- 11$	$12$

	$2$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 2)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$- 1$	$2$	$- 1$	$- 26$	$- 11$	$12$
		$- 2$
	$2$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$2$	$- 1$	$- 26$	$- 11$	$12$
		$- 2$
	$2$	$- 3$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 3)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(3)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 26)$ .

$- 1$	$2$	$- 1$	$- 26$	$- 11$	$12$
		$- 2$	$3$
	$2$	$- 3$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$2$	$- 1$	$- 26$	$- 11$	$12$
		$- 2$	$3$
	$2$	$- 3$	$- 23$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 23)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(23)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 11)$ .

$- 1$	$2$	$- 1$	$- 26$	$- 11$	$12$
		$- 2$	$3$	$23$
	$2$	$- 3$	$- 23$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$2$	$- 1$	$- 26$	$- 11$	$12$
		$- 2$	$3$	$23$
	$2$	$- 3$	$- 23$	$12$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(12)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 12)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(12)$ .

$- 1$	$2$	$- 1$	$- 26$	$- 11$	$12$
		$- 2$	$3$	$23$	$- 12$
	$2$	$- 3$	$- 23$	$12$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$2$	$- 1$	$- 26$	$- 11$	$12$
		$- 2$	$3$	$23$	$- 12$
	$2$	$- 3$	$- 23$	$12$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$2 x^{3} + - 3 x^{2} + (- 23) x + 12$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12$

Schritt 7

Löse die Gleichung, um sämtliche verbleibenden Wurzeln zu ermitteln.

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Schritt 7.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 7.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 7.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

Schritt 7.1.1.3

Setze $0.5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $0.5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 7.1.1.3.1

Setze $0.5$ in das Polynom ein.

$2 \cdot {0.5}^{3} - 3 \cdot {0.5}^{2} - 23 \cdot 0.5 + 12$

Schritt 7.1.1.3.2

Potenziere $0.5$ mit $3$ .

$2 \cdot 0.125 - 3 \cdot {0.5}^{2} - 23 \cdot 0.5 + 12$

Schritt 7.1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $0.125$ .

$0.25 - 3 \cdot {0.5}^{2} - 23 \cdot 0.5 + 12$

Schritt 7.1.1.3.4

Potenziere $0.5$ mit $2$ .

$0.25 - 3 \cdot 0.25 - 23 \cdot 0.5 + 12$

Schritt 7.1.1.3.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $0.25$ .

$0.25 - 0.75 - 23 \cdot 0.5 + 12$

Schritt 7.1.1.3.6

Subtrahiere $0.75$ von $0.25$ .

$- 0.5 - 23 \cdot 0.5 + 12$

Schritt 7.1.1.3.7

Mutltipliziere $- 23$ mit $0.5$ .

$- 0.5 - 11.5 + 12$

Schritt 7.1.1.3.8

Subtrahiere $11.5$ von $- 0.5$ .

$- 12 + 12$

Schritt 7.1.1.3.9

Addiere $- 12$ und $12$ .

$0$

Schritt 7.1.1.4

Da $0.5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $2 x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12}{2 x - 1}$

Schritt 7.1.1.5

Dividiere $2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12$ durch $2 x - 1$ .

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Schritt 7.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$23 x$

$12$

Schritt 7.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$

Schritt 7.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 7.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 7.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Schritt 7.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$

Schritt 7.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$

Schritt 7.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

Schritt 7.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x^{2} + x$

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$

Schritt 7.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$

Schritt 7.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$

Schritt 7.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 24 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$

Schritt 7.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$
							-	$24 x$	+	$12$

Schritt 7.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 24 x + 12$

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$
							+	$24 x$	-	$12$

Schritt 7.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$
							+	$24 x$	-	$12$
										$0$

Schritt 7.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - x - 12$

Schritt 7.1.1.6

Schreibe $2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12$ als eine Menge von Faktoren.

$(2 x - 1) (x^{2} - x - 12) = 0$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $x^{2} - x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.1.2.1

Faktorisiere $x^{2} - x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 4, 3$

Schritt 7.1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(2 x - 1) ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Schritt 7.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(2 x - 1) (x - 4) (x + 3) = 0$

Schritt 7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 7.3

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 7.3.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 7.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 7.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 7.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 7.4

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.4.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 7.4.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 7.5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 7.5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 7.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 1) (x - 4) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{2}, 4, - 3$

Schritt 8

Das Polynom kann als ein Satz Linearfaktoren geschrieben werden.

$(x + 1) (x - \frac{1}{2}) (x - 4) (x + 3)$

Schritt 9

Das sind die Wurzeln des Polynoms $2 x^{4} - x^{3} - 26 x^{2} - 11 x + 12$ .

$x = - 1, \frac{1}{2}, 4, - 3$

Schritt 10