Elementarmathematik Beispiele

$2 x^{4} - x^{3} - 19 x^{2} + 9 x + 9$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$2 {(1)}^{4} - {(1)}^{3} - 19 {(1)}^{2} + 9 (1) + 9$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 \cdot 1 - {(1)}^{3} - 19 {(1)}^{2} + 9 (1) + 9$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 - {(1)}^{3} - 19 {(1)}^{2} + 9 (1) + 9$

Schritt 4.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 - 1 \cdot 1 - 19 {(1)}^{2} + 9 (1) + 9$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 - 1 - 19 {(1)}^{2} + 9 (1) + 9$

Schritt 4.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 - 1 - 19 \cdot 1 + 9 (1) + 9$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $- 19$ mit $1$ .

$2 - 1 - 19 + 9 (1) + 9$

Schritt 4.1.7

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$2 - 1 - 19 + 9 + 9$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$1 - 19 + 9 + 9$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $19$ von $1$ .

$- 18 + 9 + 9$

Schritt 4.2.3

Addiere $- 18$ und $9$ .

$- 9 + 9$

Schritt 4.2.4

Addiere $- 9$ und $9$ .

$0$

Schritt 5

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{4} - x^{3} - 19 x^{2} + 9 x + 9}{x - 1}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$

	$2$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(2)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$
		$2$
	$2$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$
		$2$
	$2$	$1$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 19)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$
		$2$	$1$
	$2$	$1$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$
		$2$	$1$
	$2$	$1$	$- 18$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 18)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 18)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(9)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$
		$2$	$1$	$- 18$
	$2$	$1$	$- 18$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$
		$2$	$1$	$- 18$
	$2$	$1$	$- 18$	$- 9$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 9)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 9)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(9)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$
		$2$	$1$	$- 18$	$- 9$
	$2$	$1$	$- 18$	$- 9$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$
		$2$	$1$	$- 18$	$- 9$
	$2$	$1$	$- 18$	$- 9$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$2 x^{3} + 1 x^{2} + (- 18) x - 9$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$2 x^{3} + x^{2} - 18 x - 9$

Schritt 7

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 1) (2 x^{3} + x^{2}) - 18 x - 9$

Schritt 7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 1) + x^{2} (2 x + 1) - 9 (2 x + 1)$

$(x - 1) x^{2} (2 x + 1) - 9 (2 x + 1)$

Schritt 8

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$(x - 1) (2 x + 1) (x^{2} - 9)$

Schritt 9

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$(x - 1) (2 x + 1) (x^{2} - 3^{2})$

Schritt 10

Faktorisiere.

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Schritt 10.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$(x - 1) + (2 x + 1) ((x + 3) (x - 3))$

Schritt 10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 1) + (2 x + 1) (x + 3) (x - 3)$

$(x - 1) (2 x + 1) (x + 3) (x - 3)$

Schritt 11

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 11.1

Gruppiere die Terme um.

$- x^{3} + 9 x + 2 x^{4} - 19 x^{2} + 9 = 0$

Schritt 11.2

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{3} + 9 x$ heraus.

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Schritt 11.2.1

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{3}$ heraus.

$- x \cdot x^{2} + 9 x + 2 x^{4} - 19 x^{2} + 9 = 0$

Schritt 11.2.2

Faktorisiere $- x$ aus $9 x$ heraus.

$- x \cdot x^{2} - x \cdot - 9 + 2 x^{4} - 19 x^{2} + 9 = 0$

Schritt 11.2.3

Faktorisiere $- x$ aus $- x (x^{2}) - x (- 9)$ heraus.

$- x (x^{2} - 9) + 2 x^{4} - 19 x^{2} + 9 = 0$

Schritt 11.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- x (x^{2} - 3^{2}) + 2 x^{4} - 19 x^{2} + 9 = 0$

Schritt 11.4

Faktorisiere.

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Schritt 11.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$- x ((x + 3) (x - 3)) + 2 x^{4} - 19 x^{2} + 9 = 0$

Schritt 11.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 x^{4} - 19 x^{2} + 9 = 0$

Schritt 11.5

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 {(x^{2})}^{2} - 19 x^{2} + 9 = 0$

Schritt 11.6

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 19 u + 9 = 0$

Schritt 11.7

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 11.7.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ und deren Summe gleich $b = - 19$ ist.

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Schritt 11.7.1.1

Faktorisiere $- 19$ aus $- 19 u$ heraus.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 19 u + 9 = 0$

Schritt 11.7.1.2

Schreibe $- 19$ um als $- 1$ plus $- 18$

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} + (- 1 - 18) u + 9 = 0$

Schritt 11.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 1 u - 18 u + 9 = 0$

Schritt 11.7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 11.7.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 1 u - 18 u + 9 = 0$

Schritt 11.7.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- x (x + 3) (x - 3) + u (2 u - 1) - 9 (2 u - 1) = 0$

Schritt 11.7.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u - 1$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 u - 1) (u - 9) = 0$

Schritt 11.8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} - 9) = 0$

Schritt 11.9

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Schritt 11.10

Faktorisiere.

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Schritt 11.10.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 1) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Schritt 11.10.2

Entferne unnötige Klammern.

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) = 0$

Schritt 11.11

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3)$ heraus.

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Schritt 11.11.1

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $- x (x + 3) (x - 3)$ heraus.

$(x + 3) (x - 3) (- x) + (2 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) = 0$

Schritt 11.11.2

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $(2 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3)$ heraus.

$(x + 3) (x - 3) (- x) + (x + 3) (x - 3) (2 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 11.11.3

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $(x + 3) (x - 3) (- x) + (x + 3) (x - 3) (2 x^{2} - 1)$ heraus.

$(x + 3) (x - 3) (- x + 2 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 11.12

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x + 3) (x - 3) (- u + 2 u^{2} - 1) = 0$

Schritt 11.13

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 11.13.1

Stelle die Terme um.

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Schritt 11.13.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 11.13.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u$ heraus.

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} - (u) - 1) = 0$

Schritt 11.13.2.2

Schreibe $- 1$ um als $1$ plus $- 2$

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

Schritt 11.13.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

Schritt 11.13.2.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Schritt 11.13.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 11.13.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 3) (x - 3) ((2 u^{2} + u) - 2 u - 1) = 0$

Schritt 11.13.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 3) (x - 3) (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

Schritt 11.13.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u + 1$ .

$(x + 3) (x - 3) ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

Schritt 11.14

Faktorisiere.

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Schritt 11.14.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x + 3) (x - 3) ((2 x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 11.14.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 3) (x - 3) (2 x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 12

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 13

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 13.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 14

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 14.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 15

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 15.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 15.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 15.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 15.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 15.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 15.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 15.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 15.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 15.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 15.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 16

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 16.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 16.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 17

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 3) (x - 3) (2 x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 3, 3, - \frac{1}{2}, 1$

Schritt 18