Elementarmathematik Beispiele

$x^{6} - 64$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(2)}^{6} - 64$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Potenziere $2$ mit $6$ .

$64 - 64$

Schritt 4.2

Subtrahiere $64$ von $64$ .

$0$

Schritt 5

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{6} - 64}{x - 2}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$- 64$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$- 64$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(2)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$- 64$
		$2$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$- 64$
		$2$
	$1$	$2$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(4)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$- 64$
		$2$	$4$
	$1$	$2$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$- 64$
		$2$	$4$
	$1$	$2$	$4$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(8)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$- 64$
		$2$	$4$	$8$
	$1$	$2$	$4$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$- 64$
		$2$	$4$	$8$
	$1$	$2$	$4$	$8$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(8)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(16)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$- 64$
		$2$	$4$	$8$	$16$
	$1$	$2$	$4$	$8$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$- 64$
		$2$	$4$	$8$	$16$
	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$

Schritt 6.11

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(16)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(32)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$- 64$
		$2$	$4$	$8$	$16$	$32$
	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$

Schritt 6.12

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$- 64$
		$2$	$4$	$8$	$16$	$32$
	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$	$32$

Schritt 6.13

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(32)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(64)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 64)$ .

$2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$- 64$
		$2$	$4$	$8$	$16$	$32$	$64$
	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$	$32$

Schritt 6.14

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$- 64$
		$2$	$4$	$8$	$16$	$32$	$64$
	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$	$32$	$0$

Schritt 6.15

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{5} + 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + (16) x + 32$

Schritt 6.16

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{5} + 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 16 x + 32$

Schritt 7

Löse die Gleichung, um sämtliche verbleibenden Wurzeln zu ermitteln.

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Schritt 7.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Gruppiere die Terme um.

$x^{5} + 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 16 x + 32 = 0$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{5} + 2 x^{4} + 4 x^{3}$ heraus.

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Schritt 7.1.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{5}$ heraus.

$x^{3} x^{2} + 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 16 x + 32 = 0$

Schritt 7.1.2.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $2 x^{4}$ heraus.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (2 x) + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 16 x + 32 = 0$

Schritt 7.1.2.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot 4 + 8 x^{2} + 16 x + 32 = 0$

Schritt 7.1.2.4

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} x^{2} + x^{3} (2 x)$ heraus.

$x^{3} (x^{2} + 2 x) + x^{3} \cdot 4 + 8 x^{2} + 16 x + 32 = 0$

Schritt 7.1.2.5

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} (x^{2} + 2 x) + x^{3} \cdot 4$ heraus.

$x^{3} (x^{2} + 2 x + 4) + 8 x^{2} + 16 x + 32 = 0$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $8$ aus $8 x^{2} + 16 x + 32$ heraus.

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Schritt 7.1.3.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x^{2}$ heraus.

$x^{3} (x^{2} + 2 x + 4) + 8 (x^{2}) + 16 x + 32 = 0$

Schritt 7.1.3.2

Faktorisiere $8$ aus $16 x$ heraus.

$x^{3} (x^{2} + 2 x + 4) + 8 (x^{2}) + 8 (2 x) + 32 = 0$

Schritt 7.1.3.3

Faktorisiere $8$ aus $32$ heraus.

$x^{3} (x^{2} + 2 x + 4) + 8 x^{2} + 8 (2 x) + 8 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.1.3.4

Faktorisiere $8$ aus $8 x^{2} + 8 (2 x)$ heraus.

$x^{3} (x^{2} + 2 x + 4) + 8 (x^{2} + 2 x) + 8 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.1.3.5

Faktorisiere $8$ aus $8 (x^{2} + 2 x) + 8 \cdot 4$ heraus.

$x^{3} (x^{2} + 2 x + 4) + 8 (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Schritt 7.1.4

Faktorisiere $x^{2} + 2 x + 4$ aus $x^{3} (x^{2} + 2 x + 4) + 8 (x^{2} + 2 x + 4)$ heraus.

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Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $x^{2} + 2 x + 4$ aus $x^{3} (x^{2} + 2 x + 4)$ heraus.

$(x^{2} + 2 x + 4) x^{3} + 8 (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Schritt 7.1.4.2

Faktorisiere $x^{2} + 2 x + 4$ aus $8 (x^{2} + 2 x + 4)$ heraus.

$(x^{2} + 2 x + 4) x^{3} + (x^{2} + 2 x + 4) \cdot 8 = 0$

Schritt 7.1.4.3

Faktorisiere $x^{2} + 2 x + 4$ aus $(x^{2} + 2 x + 4) x^{3} + (x^{2} + 2 x + 4) \cdot 8$ heraus.

$(x^{2} + 2 x + 4) (x^{3} + 8) = 0$

Schritt 7.1.5

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$(x^{2} + 2 x + 4) (x^{3} + 2^{3}) = 0$

Schritt 7.1.6

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$(x^{2} + 2 x + 4) ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Schritt 7.1.7

Faktorisiere.

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Schritt 7.1.7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.7.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(x^{2} + 2 x + 4) ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})) = 0$

Schritt 7.1.7.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(x^{2} + 2 x + 4) ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)) = 0$

Schritt 7.1.7.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} + 2 x + 4) (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$

Schritt 7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Schritt 7.3

Setze $x^{2} + 2 x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.1

Setze $x^{2} + 2 x + 4$ gleich $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Schritt 7.3.2

Löse $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.3.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.2.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 7.3.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.3.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.3.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.3.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 7.3.2.3.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.3.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.3.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.3.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 7.3.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.3.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.2.4.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 7.3.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.4.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.4.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.4.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 7.3.2.4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.3.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 7.3.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Schritt 7.3.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.3.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.2.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 7.3.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.5.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.5.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.5.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 7.3.2.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.3.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 7.3.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 7.3.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 7.4

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.4.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 7.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 7.5

Setze $x^{2} - 2 x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.5.1

Setze $x^{2} - 2 x + 4$ gleich $0$ .

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Schritt 7.5.2

Löse $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.5.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.5.2.3.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 7.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2.3.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2.3.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2.3.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.2.3.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2.3.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2.3.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.5.2.3.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 7.5.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.2.4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2.4.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2.4.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2.4.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.2.4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2.4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2.4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.5.2.4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 7.5.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 1 + i \sqrt{3}$

Schritt 7.5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.5.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.5.2.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2.5.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2.5.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2.5.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.2.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.5.2.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 7.5.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 7.5.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 7.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} + 2 x + 4) (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}, - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 8

Das Polynom kann als ein Satz Linearfaktoren geschrieben werden.

$(x - 2) (x + 1 - i \sqrt{3}) (x + 1 + \sqrt{3} i) (x + 2) (x - 1 - i \sqrt{3}) (x - 1 + \sqrt{3} i)$

Schritt 9

Das sind die Wurzeln des Polynoms $x^{6} - 64$ .

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}, - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 10