Elementarmathematik Beispiele

$x^{5} + 3 x^{4} - 9 x^{3} - 31 x^{2} + 36$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(1)}^{5} + 3 {(1)}^{4} - 9 {(1)}^{3} - 31 {(1)}^{2} + 36$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 3 {(1)}^{4} - 9 {(1)}^{3} - 31 {(1)}^{2} + 36$

Schritt 4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 3 \cdot 1 - 9 {(1)}^{3} - 31 {(1)}^{2} + 36$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$1 + 3 - 9 {(1)}^{3} - 31 {(1)}^{2} + 36$

Schritt 4.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 3 - 9 \cdot 1 - 31 {(1)}^{2} + 36$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$1 + 3 - 9 - 31 {(1)}^{2} + 36$

Schritt 4.1.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 3 - 9 - 31 \cdot 1 + 36$

Schritt 4.1.7

Mutltipliziere $- 31$ mit $1$ .

$1 + 3 - 9 - 31 + 36$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ und $3$ .

$4 - 9 - 31 + 36$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $9$ von $4$ .

$- 5 - 31 + 36$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $31$ von $- 5$ .

$- 36 + 36$

Schritt 4.2.4

Addiere $- 36$ und $36$ .

$0$

Schritt 5

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{5} + 3 x^{4} - 9 x^{3} - 31 x^{2} + 36}{x - 1}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$1$	$1$	$3$	$- 9$	$- 31$	$0$	$36$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$1$	$1$	$3$	$- 9$	$- 31$	$0$	$36$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$1$	$1$	$3$	$- 9$	$- 31$	$0$	$36$
		$1$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$3$	$- 9$	$- 31$	$0$	$36$
		$1$
	$1$	$4$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(4)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 9)$ .

$1$	$1$	$3$	$- 9$	$- 31$	$0$	$36$
		$1$	$4$
	$1$	$4$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$3$	$- 9$	$- 31$	$0$	$36$
		$1$	$4$
	$1$	$4$	$- 5$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 5)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 5)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 31)$ .

$1$	$1$	$3$	$- 9$	$- 31$	$0$	$36$
		$1$	$4$	$- 5$
	$1$	$4$	$- 5$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$3$	$- 9$	$- 31$	$0$	$36$
		$1$	$4$	$- 5$
	$1$	$4$	$- 5$	$- 36$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 36)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 36)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$1$	$1$	$3$	$- 9$	$- 31$	$0$	$36$
		$1$	$4$	$- 5$	$- 36$
	$1$	$4$	$- 5$	$- 36$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$3$	$- 9$	$- 31$	$0$	$36$
		$1$	$4$	$- 5$	$- 36$
	$1$	$4$	$- 5$	$- 36$	$- 36$

Schritt 6.11

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 36)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 36)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(36)$ .

$1$	$1$	$3$	$- 9$	$- 31$	$0$	$36$
		$1$	$4$	$- 5$	$- 36$	$- 36$
	$1$	$4$	$- 5$	$- 36$	$- 36$

Schritt 6.12

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$3$	$- 9$	$- 31$	$0$	$36$
		$1$	$4$	$- 5$	$- 36$	$- 36$
	$1$	$4$	$- 5$	$- 36$	$- 36$	$0$

Schritt 6.13

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{4} + 4 x^{3} - 5 x^{2} + - 36 x - 36$

Schritt 6.14

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{4} + 4 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x - 36$

Schritt 7

Löse die Gleichung, um sämtliche verbleibenden Wurzeln zu ermitteln.

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Schritt 7.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Gruppiere die Terme um.

$4 x^{3} - 36 x + x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3} - 36 x$ heraus.

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Schritt 7.1.2.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 x (x^{2}) - 36 x + x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0$

Schritt 7.1.2.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 36 x$ heraus.

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 9) + x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0$

Schritt 7.1.2.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{2}) + 4 x (- 9)$ heraus.

$4 x (x^{2} - 9) + x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0$

Schritt 7.1.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$4 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0$

Schritt 7.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 7.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$4 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0$

Schritt 7.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0$

Schritt 7.1.5

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$4 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} - 36 = 0$

Schritt 7.1.6

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 5 u - 36 = 0$

Schritt 7.1.7

Faktorisiere $u^{2} - 5 u - 36$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.1.7.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 36$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 9, 4$

Schritt 7.1.7.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$4 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u + 4) = 0$

Schritt 7.1.8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} + 4) = 0$

Schritt 7.1.9

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$4 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 4) = 0$

Schritt 7.1.10

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) = 0$

Schritt 7.1.11

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $4 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4)$ heraus.

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Schritt 7.1.11.1

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $4 x (x + 3) (x - 3)$ heraus.

$(x + 3) (x - 3) (4 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) = 0$

Schritt 7.1.11.2

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $(x + 3) (x - 3) (4 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4)$ heraus.

$(x + 3) (x - 3) (4 x + x^{2} + 4) = 0$

Schritt 7.1.12

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x + 3) (x - 3) (4 u + u^{2} + 4) = 0$

Schritt 7.1.13

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 7.1.13.1

Ordne Terme um.

$(x + 3) (x - 3) (u^{2} + 4 u + 4) = 0$

Schritt 7.1.13.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(x + 3) (x - 3) (u^{2} + 4 u + 2^{2}) = 0$

Schritt 7.1.13.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Schritt 7.1.13.4

Schreibe das Polynom neu.

$(x + 3) (x - 3) (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Schritt 7.1.13.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 2$ .

$(x + 3) (x - 3) {(u + 2)}^{2} = 0$

Schritt 7.1.14

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x + 3) (x - 3) {(x + 2)}^{2} = 0$

Schritt 7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

Schritt 7.3

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 7.3.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 7.4

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.4.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 7.4.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 7.5

Setze ${(x + 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.5.1

Setze ${(x + 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Schritt 7.5.2

Löse ${(x + 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.5.2.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 7.5.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 7.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 3) (x - 3) {(x + 2)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = - 3, 3, - 2$

Schritt 8

Das Polynom kann als ein Satz Linearfaktoren geschrieben werden.

$(x - 1) (x + 3) (x - 3) (x + 2)$

Schritt 9

Das sind die Wurzeln des Polynoms $x^{5} + 3 x^{4} - 9 x^{3} - 31 x^{2} + 36$ .

$x = 1, - 3, 3, - 2$

Schritt 10