Elementarmathematik Beispiele

$| \frac{x - 1}{3} | < 2$

Schritt 1

Schreibe $| \frac{x - 1}{3} | < 2$ als abschnittsweise Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$\frac{x - 1}{3} \geq 0$

Schritt 1.2

Löse die Ungleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Multipliziere beide Seiten mit $3$ .

$\frac{x - 1}{3} \cdot 3 \geq 0 \cdot 3$

Schritt 1.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x - 1}{3} \cdot 3 \geq 0 \cdot 3$

Schritt 1.2.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x - 1 \geq 0 \cdot 3$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $3$ .

$x - 1 \geq 0$

Schritt 1.2.3

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq 1$

Schritt 1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $\frac{x - 1}{3}$ nicht negativ ist.

$\frac{x - 1}{3} < 2$

Schritt 1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$\frac{x - 1}{3} < 0$

Schritt 1.5

Löse die Ungleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Multipliziere beide Seiten mit $3$ .

$\frac{x - 1}{3} \cdot 3 < 0 \cdot 3$

Schritt 1.5.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x - 1}{3} \cdot 3 < 0 \cdot 3$

Schritt 1.5.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x - 1 < 0 \cdot 3$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $3$ .

$x - 1 < 0$

Schritt 1.5.3

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x < 1$

Schritt 1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $\frac{x - 1}{3}$ negativ ist.

$- \frac{x - 1}{3} < 2$

Schritt 1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} \frac{x - 1}{3} < 2 & x \geq 1 \\ - \frac{x - 1}{3} < 2 & x < 1 \end{cases}$

Schritt 2

Löse $\frac{x - 1}{3} < 2$ , wenn $x \geq 1$ ergibt.

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Schritt 2.1

Löse $\frac{x - 1}{3} < 2$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1.1

Multipliziere beide Seiten mit $3$ .

$\frac{x - 1}{3} \cdot 3 < 2 \cdot 3$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x - 1}{3} \cdot 3 < 2 \cdot 3$

Schritt 2.1.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x - 1 < 2 \cdot 3$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x - 1 < 6$

Schritt 2.1.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.3.1

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x < 6 + 1$

Schritt 2.1.3.2

Addiere $6$ und $1$ .

$x < 7$

Schritt 2.2

Bestimme die Schnittmenge von $x < 7$ und $x \geq 1$ .

$1 \leq x < 7$

Schritt 3

Löse $- \frac{x - 1}{3} < 2$ , wenn $x < 1$ ergibt.

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Schritt 3.1

Löse $- \frac{x - 1}{3} < 2$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{x - 1}{3} < 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1.1

Teile jeden Term in $- \frac{x - 1}{3} < 2$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- \frac{x - 1}{3}}{- 1} > \frac{2}{- 1}$

Schritt 3.1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{x - 1}{3}}{1} > \frac{2}{- 1}$

Schritt 3.1.1.2.2

Dividiere $\frac{x - 1}{3}$ durch $1$ .

$\frac{x - 1}{3} > \frac{2}{- 1}$

Schritt 3.1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.1.3.1

Dividiere $2$ durch $- 1$ .

$\frac{x - 1}{3} > - 2$

Schritt 3.1.2

Multipliziere beide Seiten mit $3$ .

$\frac{x - 1}{3} \cdot 3 > - 2 \cdot 3$

Schritt 3.1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.3.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x - 1}{3} \cdot 3 > - 2 \cdot 3$

Schritt 3.1.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x - 1 > - 2 \cdot 3$

Schritt 3.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$x - 1 > - 6$

Schritt 3.1.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1.4.1

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x > - 6 + 1$

Schritt 3.1.4.2

Addiere $- 6$ und $1$ .

$x > - 5$

Schritt 3.2

Bestimme die Schnittmenge von $x > - 5$ und $x < 1$ .

$- 5 < x < 1$

Schritt 4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- 5 < x < 7$

Schritt 5

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 5, 7)$

Schritt 6