Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{2} - x - 42}{x^{2} - 13 x + 42} > 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x^{2} - x - 42 = 0$

$x^{2} - 13 x + 42 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} - x - 42$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 42$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 7, 6$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 7) (x + 6) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 6 = 0$

Schritt 4

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 5

Setze $x + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x + 6$ gleich $0$ .

$x + 6 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 7) (x + 6) = 0$ wahr machen.

$x = 7, - 6$

Schritt 7

Faktorisiere $x^{2} - 13 x + 42$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $42$ und deren Summe $- 13$ ist.

$- 7, - 6$

Schritt 7.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 7) (x - 6) = 0$

Schritt 8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 6 = 0$

Schritt 9

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 9.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 10

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 10.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 7) (x - 6) = 0$ wahr machen.

$x = 7, 6$

Schritt 12

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 7, - 6$

$x = 7, 6$

Schritt 13

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 7, - 6, 7, 6$

Schritt 14

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x^{2} - x - 42}{x^{2} - 13 x + 42}$ .

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Schritt 14.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} - x - 42}{x^{2} - 13 x + 42}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 13 x + 42 = 0$

Schritt 14.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 13 x + 42$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 14.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $42$ und deren Summe $- 13$ ist.

$- 7, - 6$

Schritt 14.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 7) (x - 6) = 0$

Schritt 14.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 6 = 0$

Schritt 14.2.3

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.2.3.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 14.2.3.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 14.2.4

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.2.4.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 14.2.4.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 14.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 7) (x - 6) = 0$ wahr machen.

$x = 7, 6$

Schritt 14.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 6) \cup (6, 7) \cup (7, \infty)$

Schritt 15

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 6$

$- 6 < x < 6$

$6 < x < 7$

$x > 7$

Schritt 16

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 16.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 16.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 16.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 8)}^{2} - (- 8) - 42}{{(- 8)}^{2} - 13 \cdot - 8 + 42} > 0$

Schritt 16.1.3

Die linke Seite $0.\overline{142857}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 16.2

Teste einen Wert im Intervall $- 6 < x < 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 16.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 6 < x < 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 16.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(0)}^{2} - (0) - 42}{{(0)}^{2} - 13 \cdot 0 + 42} > 0$

Schritt 16.2.3

Die linke Seite $- 1$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 16.3

Teste einen Wert im Intervall $6 < x < 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 16.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $6 < x < 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6.5$

Schritt 16.3.2

Ersetze $x$ durch $6.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(6.5)}^{2} - (6.5) - 42}{{(6.5)}^{2} - 13 \cdot 6.5 + 42} > 0$

Schritt 16.3.3

Die linke Seite $25$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 16.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 16.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 16.4.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(10)}^{2} - (10) - 42}{{(10)}^{2} - 13 \cdot 10 + 42} > 0$

Schritt 16.4.3

Die linke Seite $4$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 16.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 6$ Wahr

$- 6 < x < 6$ Falsch

$6 < x < 7$ Wahr

$x > 7$ Wahr

$x < - 6$ Wahr

$- 6 < x < 6$ Falsch

$6 < x < 7$ Wahr

$x > 7$ Wahr

Schritt 17

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 6$ oder $6 < x < 7$ oder $x > 7$

Schritt 18

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 6) \cup (6, 7) \cup (7, \infty)$

Schritt 19