Elementarmathematik Beispiele

$- x^{3} - 5 x^{2} > - 8 x - 12$

Schritt 1

Addiere $8 x$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{3} - 5 x^{2} + 8 x > - 12$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- x^{3} - 5 x^{2} + 8 x = - 12$

Schritt 3

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{3} - 5 x^{2} + 8 x + 12 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $- x^{3} - 5 x^{2} + 8 x + 12$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 4.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Schritt 4.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Schritt 4.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

$- {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} + 8 \cdot - 1 + 12$

Schritt 4.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- - 1 - 5 {(- 1)}^{2} + 8 \cdot - 1 + 12$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 - 5 {(- 1)}^{2} + 8 \cdot - 1 + 12$

Schritt 4.1.3.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 - 5 \cdot 1 + 8 \cdot - 1 + 12$

Schritt 4.1.3.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$1 - 5 + 8 \cdot - 1 + 12$

Schritt 4.1.3.6

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$- 4 + 8 \cdot - 1 + 12$

Schritt 4.1.3.7

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$- 4 - 8 + 12$

Schritt 4.1.3.8

Subtrahiere $8$ von $- 4$ .

$- 12 + 12$

Schritt 4.1.3.9

Addiere $- 12$ und $12$ .

$0$

Schritt 4.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- x^{3} - 5 x^{2} + 8 x + 12}{x + 1}$

Schritt 4.1.5

Dividiere $- x^{3} - 5 x^{2} + 8 x + 12$ durch $x + 1$ .

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Schritt 4.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$12$

Schritt 4.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$

Schritt 4.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 4.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{3} - x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 4.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Schritt 4.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

Schritt 4.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

Schritt 4.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Schritt 4.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 x^{2} - 4 x$

			-	$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Schritt 4.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$

Schritt 4.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$12$

Schritt 4.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $12 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$12$

Schritt 4.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$12$
							+	$12 x$	+	$12$

Schritt 4.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $12 x + 12$

			-	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$12$
							-	$12 x$	-	$12$

Schritt 4.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$12$
							-	$12 x$	-	$12$
										$0$

Schritt 4.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- x^{2} - 4 x + 12$

Schritt 4.1.6

Schreibe $- x^{3} - 5 x^{2} + 8 x + 12$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 1) (- x^{2} - 4 x + 12) = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ und deren Summe gleich $b = - 4$ ist.

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Schritt 4.2.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 x$ heraus.

$(x + 1) (- x^{2} - 4 x + 12) = 0$

Schritt 4.2.1.1.2

Schreibe $- 4$ um als $2$ plus $- 6$

$(x + 1) (- x^{2} + (2 - 6) x + 12) = 0$

Schritt 4.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 1) (- x^{2} + 2 x - 6 x + 12) = 0$

Schritt 4.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 1) ((- x^{2} + 2 x) - 6 x + 12) = 0$

Schritt 4.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 1) (x (- x + 2) + 6 (- x + 2)) = 0$

Schritt 4.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 2$ .

$(x + 1) ((- x + 2) (x + 6)) = 0$

Schritt 4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) (- x + 2) (x + 6) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$- x + 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Schritt 6

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 7

Setze $- x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $- x + 2$ gleich $0$ .

$- x + 2 = 0$

Schritt 7.2

Löse $- x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 2$

Schritt 7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 7.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x = 2$

Schritt 8

Setze $x + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x + 6$ gleich $0$ .

$x + 6 = 0$

Schritt 8.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (- x + 2) (x + 6) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 2, - 6$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 6$

$- 6 < x < - 1$

$- 1 < x < 2$

$x > 2$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- {(- 8)}^{3} - 5 {(- 8)}^{2} > - 8 \cdot - 8 - 12$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $192$ ist größer als die rechte Seite $52$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $- 6 < x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 6 < x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- {(- 4)}^{3} - 5 {(- 4)}^{2} > - 8 \cdot - 4 - 12$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $- 16$ ist nicht größer als die rechte Seite $20$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- {(0)}^{3} - 5 {(0)}^{2} > - 8 \cdot 0 - 12$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $0$ ist größer als die rechte Seite $- 12$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 11.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- {(4)}^{3} - 5 {(4)}^{2} > - 8 \cdot 4 - 12$

Schritt 11.4.3

Die linke Seite $- 144$ ist nicht größer als die rechte Seite $- 44$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 6$ Wahr

$- 6 < x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 2$ Wahr

$x > 2$ Falsch

$x < - 6$ Wahr

$- 6 < x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 2$ Wahr

$x > 2$ Falsch

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 6$ oder $- 1 < x < 2$

Schritt 13

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 6) \cup (- 1, 2)$

Schritt 14