Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} - 6 x + 9 < 16$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} - 6 x + 9 = 16$

Schritt 2

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 6 x + 9 - 16 = 0$

Schritt 3

Subtrahiere $16$ von $9$ .

$x^{2} - 6 x - 7 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere $x^{2} - 6 x - 7$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 7$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 7, 1$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 7) (x + 1) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 6

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 7

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 7.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 7) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 7, - 1$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$- 1 < x < 7$

$x > 7$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 4)}^{2} - 6 \cdot - 4 + 9 < 16$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $49$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $16$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{2} - 6 \cdot 0 + 9 < 16$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $9$ ist kleiner als die rechte Seite $16$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(10)}^{2} - 6 \cdot 10 + 9 < 16$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $49$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $16$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 7$ Wahr

$x > 7$ Falsch

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 7$ Wahr

$x > 7$ Falsch

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 1 < x < 7$

Schritt 12

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 1, 7)$

Schritt 13