Elementarmathematik Beispiele

$x^{3} + 3 x^{2} - 16 x - 48 > 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{3} + 3 x^{2} - 16 x - 48 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{3} + 3 x^{2}) - 16 x - 48 = 0$

Schritt 2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (x + 3) - 16 (x + 3) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 3$ .

$(x + 3) (x^{2} - 16) = 0$

Schritt 2.3

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$(x + 3) (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$(x + 3) ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Schritt 2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 3) (x + 4) (x - 4) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 4

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 5

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 6

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 3) (x + 4) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = - 3, - 4, 4$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 3$

$- 3 < x < 4$

$x > 4$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 6)}^{3} + 3 {(- 6)}^{2} - 16 \cdot - 6 - 48 > 0$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $- 60$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3.5$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $- 3.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 3.5)}^{3} + 3 {(- 3.5)}^{2} - 16 \cdot - 3.5 - 48 > 0$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $1.875$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} - 16 \cdot 0 - 48 > 0$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $- 48$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 9.4.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(6)}^{3} + 3 {(6)}^{2} - 16 \cdot 6 - 48 > 0$

Schritt 9.4.3

Die linke Seite $180$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 4$ Falsch

$x > 4$ Wahr

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 4$ Falsch

$x > 4$ Wahr

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 4 < x < - 3$ oder $x > 4$

Schritt 11

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 4, - 3) \cup (4, \infty)$

Schritt 12