Elementarmathematik Beispiele

$p^{2} + 2000 p - 400000 < 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$p^{2} + 2000 p - 400000 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2000$ und $c = - 400000$ in die Quadratformel ein und löse nach $p$ auf.

$\frac{- 2000 \pm \sqrt{2000^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 400000)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $2000$ mit $2$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{4000000 - 4 \cdot 1 \cdot - 400000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 400000$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{4000000 - 4 \cdot - 400000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 400000$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{4000000 + 1600000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3

Addiere $4000000$ und $1600000$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{5600000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $5600000$ als $400^{2} \cdot 35$ um.

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Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $160000$ aus $5600000$ heraus.

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{160000 (35)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4.2

Schreibe $160000$ als $400^{2}$ um.

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{400^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$p = \frac{- 2000 \pm 400 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$p = \frac{- 2000 \pm 400 \sqrt{35}}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{- 2000 \pm 400 \sqrt{35}}{2}$ .

$p = - 1000 \pm 200 \sqrt{35}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $2000$ mit $2$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{4000000 - 4 \cdot 1 \cdot - 400000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 400000$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{4000000 - 4 \cdot - 400000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 400000$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{4000000 + 1600000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3

Addiere $4000000$ und $1600000$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{5600000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $5600000$ als $400^{2} \cdot 35$ um.

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Schritt 5.1.4.1

Faktorisiere $160000$ aus $5600000$ heraus.

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{160000 (35)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4.2

Schreibe $160000$ als $400^{2}$ um.

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{400^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$p = \frac{- 2000 \pm 400 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$p = \frac{- 2000 \pm 400 \sqrt{35}}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{- 2000 \pm 400 \sqrt{35}}{2}$ .

$p = - 1000 \pm 200 \sqrt{35}$

Schritt 5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$p = - 1000 + 200 \sqrt{35}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $2000$ mit $2$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{4000000 - 4 \cdot 1 \cdot - 400000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 400000$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{4000000 - 4 \cdot - 400000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 400000$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{4000000 + 1600000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.3

Addiere $4000000$ und $1600000$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{5600000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $5600000$ als $400^{2} \cdot 35$ um.

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $160000$ aus $5600000$ heraus.

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{160000 (35)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4.2

Schreibe $160000$ als $400^{2}$ um.

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{400^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$p = \frac{- 2000 \pm 400 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$p = \frac{- 2000 \pm 400 \sqrt{35}}{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{- 2000 \pm 400 \sqrt{35}}{2}$ .

$p = - 1000 \pm 200 \sqrt{35}$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$p = - 1000 - 200 \sqrt{35}$

Schritt 7

Fasse die Lösungen zusammen.

$p = - 1000 + 200 \sqrt{35}, - 1000 - 200 \sqrt{35}$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$p < - 1000 - 200 \sqrt{35}$

$- 1000 - 200 \sqrt{35} < p < - 1000 + 200 \sqrt{35}$

$p > - 1000 + 200 \sqrt{35}$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $p < - 1000 - 200 \sqrt{35}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $p < - 1000 - 200 \sqrt{35}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$p = - 2186$

Schritt 9.1.2

Ersetze $p$ durch $- 2186$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 2186)}^{2} + 2000 (- 2186) - 400000 < 0$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $6596$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1000 - 200 \sqrt{35} < p < - 1000 + 200 \sqrt{35}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1000 - 200 \sqrt{35} < p < - 1000 + 200 \sqrt{35}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$p = 0$

Schritt 9.2.2

Ersetze $p$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{2} + 2000 (0) - 400000 < 0$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $- 400000$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $p > - 1000 + 200 \sqrt{35}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $p > - 1000 + 200 \sqrt{35}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$p = 186$

Schritt 9.3.2

Ersetze $p$ durch $186$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(186)}^{2} + 2000 (186) - 400000 < 0$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $6596$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$p < - 1000 - 200 \sqrt{35}$ Falsch

$- 1000 - 200 \sqrt{35} < p < - 1000 + 200 \sqrt{35}$ Wahr

$p > - 1000 + 200 \sqrt{35}$ Falsch

$p < - 1000 - 200 \sqrt{35}$ Falsch

$- 1000 - 200 \sqrt{35} < p < - 1000 + 200 \sqrt{35}$ Wahr

$p > - 1000 + 200 \sqrt{35}$ Falsch

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 1000 - 200 \sqrt{35} < p < - 1000 + 200 \sqrt{35}$

Schritt 11

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 1000 - 200 \sqrt{35}, - 1000 + 200 \sqrt{35})$

Schritt 12