Elementarmathematik Beispiele

$6 x - 5 < \frac{6}{x}$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$(6 x - 5) x = \frac{6}{x} x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $(6 x - 5) x$ .

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Schritt 2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x \cdot x - 5 x = \frac{6}{x} x$

Schritt 2.1.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.1.2.1

Bewege $x$ .

$6 (x \cdot x) - 5 x = \frac{6}{x} x$

Schritt 2.1.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$6 x^{2} - 5 x = \frac{6}{x} x$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 x^{2} - 5 x = \frac{6}{x} x$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$6 x^{2} - 5 x = 6$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x^{2} - 5 x - 6 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 6 \cdot - 6 = - 36$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 x$ heraus.

$6 x^{2} - 5 x - 6 = 0$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe $- 5$ um als $4$ plus $- 9$

$6 x^{2} + (4 - 9) x - 6 = 0$

Schritt 3.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{2} + 4 x - 9 x - 6 = 0$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(6 x^{2} + 4 x) - 9 x - 6 = 0$

Schritt 3.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 x (3 x + 2) - 3 (3 x + 2) = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 2$ .

$(3 x + 2) (2 x - 3) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Schritt 3.4

Setze $3 x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $3 x + 2$ gleich $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $3 x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 2$

Schritt 3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 3.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Schritt 3.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 3.5

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $2 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 3$

Schritt 3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 3.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x + 2) (2 x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{2}{3}, \frac{3}{2}$

Schritt 4

Bestimme den Definitionsbereich von $6 x - 5 - \frac{6}{x}$ .

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{6}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 4.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{2}{3}$

$- \frac{2}{3} < x < 0$

$0 < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Schritt 6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{2}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{2}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$6 (- 3) - 5 < \frac{6}{- 3}$

Schritt 6.1.3

Die linke Seite $- 23$ ist kleiner als die rechte Seite $- 2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{2}{3} < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{2}{3} < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 0.33$

Schritt 6.2.2

Ersetze $x$ durch $- 0.33$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$6 (- 0.33) - 5 < \frac{6}{- 0.33}$

Schritt 6.2.3

Die linke Seite $- 6.98$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 18.\overline{18}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \frac{3}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \frac{3}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 6.3.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$6 (1) - 5 < \frac{6}{1}$

Schritt 6.3.3

Die linke Seite $1$ ist kleiner als die rechte Seite $6$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.4

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{3}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{3}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 6.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$6 (4) - 5 < \frac{6}{4}$

Schritt 6.4.3

Die linke Seite $19$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $1.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{2}{3}$ Wahr

$- \frac{2}{3} < x < 0$ Falsch

$0 < x < \frac{3}{2}$ Wahr

$x > \frac{3}{2}$ Falsch

$x < - \frac{2}{3}$ Wahr

$- \frac{2}{3} < x < 0$ Falsch

$0 < x < \frac{3}{2}$ Wahr

$x > \frac{3}{2}$ Falsch

Schritt 7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - \frac{2}{3}$ oder $0 < x < \frac{3}{2}$

Schritt 8

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (0, \frac{3}{2})$

Schritt 9