Elementarmathematik Beispiele

${(2 x - 1)}^{\frac{2}{3}} < x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x = \frac{1}{4}, 1$

Schritt 2

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4} < x < 1$

$x > 1$

Schritt 3

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 3.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{1}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{1}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 3.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(2 (0) - 1)}^{\frac{2}{3}} < {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 3.1.3

Die linke Seite $1$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 3.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{1}{4} < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{1}{4} < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.62$

Schritt 3.2.2

Ersetze $x$ durch $0.62$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(2 (0.62) - 1)}^{\frac{2}{3}} < {(0.62)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 3.2.3

Die linke Seite $0.38619575$ ist kleiner als die rechte Seite $0.85270189$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 3.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 3.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(2 (4) - 1)}^{\frac{2}{3}} < {(4)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 3.3.3

Die linke Seite $3.65930571$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $1.58740105$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 3.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{1}{4}$ Falsch

$\frac{1}{4} < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

$x < \frac{1}{4}$ Falsch

$\frac{1}{4} < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

Schritt 4

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{1}{4} < x < 1$

Schritt 5

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(\frac{1}{4}, 1)$

Schritt 6