Elementarmathematik Beispiele

$\frac{(x - 1) | x - 4 |}{\sqrt{x + 3}} > 0$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $\sqrt{x + 3}$ .

$\frac{(x - 1) | x - 4 |}{\sqrt{x + 3}} \sqrt{x + 3} = 0 \sqrt{x + 3}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $\frac{(x - 1) | x - 4 |}{\sqrt{x + 3}} \sqrt{x + 3}$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{x + 3}$ .

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Schritt 2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 1) | x - 4 |}{\sqrt{x + 3}} \sqrt{x + 3} = 0 \sqrt{x + 3}$

Schritt 2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$(x - 1) | x - 4 | = 0 \sqrt{x + 3}$

Schritt 2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x | x - 4 | - 1 | x - 4 | = 0 \sqrt{x + 3}$

Schritt 2.1.1.3

Schreibe $- 1 | x - 4 |$ als $- | x - 4 |$ um.

$x | x - 4 | - | x - 4 | = 0 \sqrt{x + 3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $\sqrt{x + 3}$ .

$x | x - 4 | - | x - 4 | = 0$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $| x - 4 |$ aus $x | x - 4 | - | x - 4 |$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $| x - 4 |$ aus $x | x - 4 |$ heraus.

$| x - 4 | x - | x - 4 | = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $| x - 4 |$ aus $- | x - 4 |$ heraus.

$| x - 4 | x + | x - 4 | \cdot - 1 = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $| x - 4 |$ aus $| x - 4 | x + | x - 4 | \cdot - 1$ heraus.

$| x - 4 | (x - 1) = 0$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $| x - 4 | (x - 1) = 0$ durch $x - 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $| x - 4 | (x - 1) = 0$ durch $x - 1$ .

$\frac{| x - 4 | (x - 1)}{x - 1} = \frac{0}{x - 1}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| x - 4 | (x - 1)}{x - 1} = \frac{0}{x - 1}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $| x - 4 |$ durch $1$ .

$| x - 4 | = \frac{0}{x - 1}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Dividiere $0$ durch $x - 1$ .

$| x - 4 | = 0$

Schritt 3.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x - 4 = \pm 0$

Schritt 3.4

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 3.5

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 3.6

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x - 4 = \pm 0$

Schritt 3.7

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 3.8

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 4

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{(x - 1) | x - 4 |}{\sqrt{x + 3}}$ .

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Schritt 4.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x + 3}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 3 \geq 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq - 3$

Schritt 4.3

Setze den Nenner in $\frac{(x - 1) | x - 4 |}{\sqrt{x + 3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{x + 3} = 0$

Schritt 4.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x + 3}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 3}$ als ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.2.1

Vereinfache ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.4.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.4.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.4.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.4.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 3)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 4.4.2.2.1.2

Vereinfache.

$x + 3 = 0^{2}$

Schritt 4.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 4.4.3

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 4.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- 3, \infty)$

Schritt 5

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x > 4$

Schritt 6

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(4, \infty)$

Schritt 7