Elementarmathematik Beispiele

$4 x (x - 2) < (2 x - 1) (x - 3)$

Schritt 1

Vereinfache $4 x (x - 2)$ .

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Schritt 1.1

Forme um.

$0 + 0 + 4 x (x - 2) < (2 x - 1) (x - 3)$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$4 x (x - 2) < (2 x - 1) (x - 3)$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot - 2 < (2 x - 1) (x - 3)$

Schritt 1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.1

Bewege $x$ .

$4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 2 < (2 x - 1) (x - 3)$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x^{2} + 4 x \cdot - 2 < (2 x - 1) (x - 3)$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$4 x^{2} - 8 x < (2 x - 1) (x - 3)$

Schritt 2

Vereinfache $(2 x - 1) (x - 3)$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere $(2 x - 1) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} - 8 x < 2 x (x - 3) - 1 (x - 3)$

Schritt 2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} - 8 x < 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 1 (x - 3)$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} - 8 x < 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3$

Schritt 2.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.1

Bewege $x$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3$

Schritt 2.2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} - 6 x - 1 x - 1 \cdot - 3$

Schritt 2.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} - 6 x - x - 1 \cdot - 3$

Schritt 2.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} - 6 x - x + 3$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $x$ von $- 6 x$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} - 7 x + 3$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$4 x^{2} - 8 x - 2 x^{2} < - 7 x + 3$

Schritt 3.2

Addiere $7 x$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$4 x^{2} - 8 x - 2 x^{2} + 7 x < 3$

Schritt 3.3

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$2 x^{2} - 8 x + 7 x < 3$

Schritt 3.4

Addiere $- 8 x$ und $7 x$ .

$2 x^{2} - x < 3$

Schritt 4

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$2 x^{2} - x = 3$

Schritt 5

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - x - 3 = 0$

Schritt 6

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 6.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$2 x^{2} - (x) - 3 = 0$

Schritt 6.1.2

Schreibe $- 1$ um als $2$ plus $- 3$

$2 x^{2} + (2 - 3) x - 3 = 0$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3 = 0$

Schritt 6.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 6.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{2} + 2 x) - 3 x - 3 = 0$

Schritt 6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 x (x + 1) - 3 (x + 1) = 0$

Schritt 6.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 1$ .

$(x + 1) (2 x - 3) = 0$

Schritt 7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Schritt 8

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 8.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 9

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Schritt 9.2

Löse $2 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 3$

Schritt 9.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 9.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 9.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 9.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (2 x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, \frac{3}{2}$

Schritt 11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$- 1 < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Schritt 12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 12.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 12.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$4 (- 4) ((- 4) - 2) < (2 (- 4) - 1) ((- 4) - 3)$

Schritt 12.1.3

Die linke Seite $96$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $63$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 12.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < \frac{3}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < \frac{3}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 12.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$4 (0) ((0) - 2) < (2 (0) - 1) ((0) - 3)$

Schritt 12.2.3

Die linke Seite $0$ ist kleiner als die rechte Seite $3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 12.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{3}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{3}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 12.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$4 (4) ((4) - 2) < (2 (4) - 1) ((4) - 3)$

Schritt 12.3.3

Die linke Seite $32$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $7$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 12.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < \frac{3}{2}$ Wahr

$x > \frac{3}{2}$ Falsch

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < \frac{3}{2}$ Wahr

$x > \frac{3}{2}$ Falsch

Schritt 13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 1 < x < \frac{3}{2}$

Schritt 14

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 1, \frac{3}{2})$

Schritt 15