Elementarmathematik Beispiele

$25 x^{2} + 16 < 40 x$

Schritt 1

Subtrahiere $40 x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$25 x^{2} + 16 - 40 x < 0$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$25 x^{2} + 16 - 40 x = 0$

Schritt 3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.1

Ordne Terme um.

$25 x^{2} - 40 x + 16 = 0$

Schritt 3.2

Schreibe $25 x^{2}$ als ${(5 x)}^{2}$ um.

${(5 x)}^{2} - 40 x + 16 = 0$

Schritt 3.3

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

${(5 x)}^{2} - 40 x + 4^{2} = 0$

Schritt 3.4

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$40 x = 2 \cdot (5 x) \cdot 4$

Schritt 3.5

Schreibe das Polynom neu.

${(5 x)}^{2} - 2 \cdot (5 x) \cdot 4 + 4^{2} = 0$

Schritt 3.6

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 5 x$ und $b = 4$ .

${(5 x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 4

Setze $5 x - 4$ gleich $0$ .

$5 x - 4 = 0$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 4$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 4$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 4$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{4}{5}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{4}{5}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{5}$

Schritt 6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{4}{5}$

$x > \frac{4}{5}$

Schritt 7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{4}{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{4}{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 7.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$25 {(0)}^{2} + 16 < 40 (0)$

Schritt 7.1.3

Die linke Seite $16$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 7.2

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{4}{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{4}{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 7.2.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$25 {(3)}^{2} + 16 < 40 (3)$

Schritt 7.2.3

Die linke Seite $241$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $120$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 7.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{4}{5}$ Falsch

$x > \frac{4}{5}$ Falsch

$x < \frac{4}{5}$ Falsch

$x > \frac{4}{5}$ Falsch

Schritt 8

Da es kein Zahlen gibt, die in das Intervall fallen, hat die Ungleichung keine Lösung.

Keine Lösung