Elementarmathematik Beispiele

$2 x > \frac{4}{x + 1}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{4}{x + 1}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x - \frac{4}{x + 1} > 0$

Schritt 2

Vereinfache $2 x - \frac{4}{x + 1}$ .

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Schritt 2.1

Um $2 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2 x (x + 1)}{x + 1} - \frac{4}{x + 1} > 0$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x (x + 1) - 4}{x + 1} > 0$

Schritt 2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x (x + 1) - 4$ heraus.

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x (x + 1)$ heraus.

$\frac{2 (x (x + 1)) - 4}{x + 1} > 0$

Schritt 2.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{2 (x (x + 1)) + 2 \cdot - 2}{x + 1} > 0$

Schritt 2.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x (x + 1)) + 2 \cdot - 2$ heraus.

$\frac{2 (x (x + 1) - 2)}{x + 1} > 0$

Schritt 2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 1 - 2)}{x + 1} > 0$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot 1 - 2)}{x + 1} > 0$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x - 2)}{x + 1} > 0$

Schritt 2.3.5

Faktorisiere $x^{2} + x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.3.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $1$ ist.

$- 1, 2$

Schritt 2.3.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{2 ((x - 1) (x + 2))}{x + 1} > 0$

$\frac{2 (x - 1) (x + 2)}{x + 1} > 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 5

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 6

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 7

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 1$

$x = - 2$

$x = - 1$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 1, - 2, - 1$

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{2 (x - 1) (x + 2)}{x + 1}$ .

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Schritt 9.1

Setze den Nenner in $\frac{2 (x - 1) (x + 2)}{x + 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 1 = 0$

Schritt 9.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 9.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 (- 4) > \frac{4}{(- 4) + 1}$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $- 8$ ist nicht größer als die rechte Seite $- 1.\overline{3}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 1.5$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $- 1.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 (- 1.5) > \frac{4}{(- 1.5) + 1}$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $- 3$ ist größer als die rechte Seite $- 8$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 (0) > \frac{4}{(0) + 1}$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $0$ ist nicht größer als die rechte Seite $4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 11.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 (4) > \frac{4}{(4) + 1}$

Schritt 11.4.3

Die linke Seite $8$ ist größer als die rechte Seite $0.8$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

$x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 2 < x < - 1$ oder $x > 1$

Schritt 13

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 2, - 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 14