Elementarmathematik Beispiele

$4 + | x - 5 | > \frac{5}{8}$

Schritt 1

Schreibe $4 + | x - 5 | > \frac{5}{8}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x - 5 \geq 0$

Schritt 1.2

Addiere $5$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq 5$

Schritt 1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x - 5$ nicht negativ ist.

$4 + x - 5 > \frac{5}{8}$

Schritt 1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x - 5 < 0$

Schritt 1.5

Addiere $5$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x < 5$

Schritt 1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x - 5$ negativ ist.

$4 - (x - 5) > \frac{5}{8}$

Schritt 1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} 4 + x - 5 > \frac{5}{8} & x \geq 5 \\ 4 - (x - 5) > \frac{5}{8} & x < 5 \end{cases}$

Schritt 1.8

Subtrahiere $5$ von $4$ .

${\begin{cases} x - 1 > \frac{5}{8} & x \geq 5 \\ 4 - (x - 5) > \frac{5}{8} & x < 5 \end{cases}$

Schritt 1.9

Vereinfache $4 - (x - 5) > \frac{5}{8}$ .

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Schritt 1.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.9.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} x - 1 > \frac{5}{8} & x \geq 5 \\ 4 - x - - 5 > \frac{5}{8} & x < 5 \end{cases}$

Schritt 1.9.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

${\begin{cases} x - 1 > \frac{5}{8} & x \geq 5 \\ 4 - x + 5 > \frac{5}{8} & x < 5 \end{cases}$

Schritt 1.9.2

Addiere $4$ und $5$ .

${\begin{cases} x - 1 > \frac{5}{8} & x \geq 5 \\ - x + 9 > \frac{5}{8} & x < 5 \end{cases}$

Schritt 2

Löse $x - 1 > \frac{5}{8}$ , wenn $x \geq 5$ ergibt.

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Schritt 2.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.1

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x > \frac{5}{8} + 1$

Schritt 2.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$x > \frac{5}{8} + \frac{8}{8}$

Schritt 2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x > \frac{5 + 8}{8}$

Schritt 2.1.4

Addiere $5$ und $8$ .

$x > \frac{13}{8}$

Schritt 2.2

Bestimme die Schnittmenge von $x > \frac{13}{8}$ und $x \geq 5$ .

$x \geq 5$

Schritt 3

Löse $- x + 9 > \frac{5}{8}$ , wenn $x < 5$ ergibt.

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Schritt 3.1

Löse $- x + 9 > \frac{5}{8}$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1.1.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x > \frac{5}{8} - 9$

Schritt 3.1.1.2

Um $- 9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$- x > \frac{5}{8} - 9 \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 3.1.1.3

Kombiniere $- 9$ und $\frac{8}{8}$ .

$- x > \frac{5}{8} + \frac{- 9 \cdot 8}{8}$

Schritt 3.1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- x > \frac{5 - 9 \cdot 8}{8}$

Schritt 3.1.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1.5.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $8$ .

$- x > \frac{5 - 72}{8}$

Schritt 3.1.1.5.2

Subtrahiere $72$ von $5$ .

$- x > \frac{- 67}{8}$

Schritt 3.1.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- x > - \frac{67}{8}$

Schritt 3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- x > - \frac{67}{8}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Teile jeden Term in $- x > - \frac{67}{8}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{- \frac{67}{8}}{- 1}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} < \frac{- \frac{67}{8}}{- 1}$

Schritt 3.1.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{- \frac{67}{8}}{- 1}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x < \frac{\frac{67}{8}}{1}$

Schritt 3.1.2.3.2

Dividiere $\frac{67}{8}$ durch $1$ .

$x < \frac{67}{8}$

Schritt 3.2

Bestimme die Schnittmenge von $x < \frac{67}{8}$ und $x < 5$ .

$x < 5$

Schritt 4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

Alle reellen Zahlen

Schritt 5

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 6