Elementarmathematik Beispiele

$\frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}}}$

Schritt 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $y^{2} x^{2}$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}}}$ mit $\frac{y^{2} x^{2}}{y^{2} x^{2}}$ .

$\frac{y^{2} x^{2}}{y^{2} x^{2}} \cdot \frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}}}$

Schritt 1.2

Kombinieren.

$\frac{y^{2} x^{2} (\frac{x}{y} - \frac{y}{x})}{y^{2} x^{2} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}})}$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y^{2} x^{2} \frac{x}{y} + y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Schritt 3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2} x^{2}$ heraus.

$\frac{y (y x^{2}) \frac{x}{y} + y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (y x^{2}) \frac{x}{y} + y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y x^{2} x + y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Schritt 3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{y (x^{1} x^{2}) + y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Schritt 3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y x^{1 + 2} + y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Schritt 3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{y x^{3} + y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y}{x}$ in den Zähler.

$\frac{y x^{3} + y^{2} x^{2} \frac{- y}{x}}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $x$ aus $y^{2} x^{2}$ heraus.

$\frac{y x^{3} + x (y^{2} x) \frac{- y}{x}}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Schritt 3.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x^{3} + x (y^{2} x) \frac{- y}{x}}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Schritt 3.5.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y x^{3} + y^{2} x (- y)}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Schritt 3.6

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y x^{3} + x (- (y^{2} y^{1}))}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Schritt 3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y x^{3} + x (- y^{2 + 1})}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Schritt 3.8

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{y x^{3} + x (- y^{3})}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Schritt 3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.9.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $y^{2} x^{2}$ heraus.

$\frac{y x^{3} + x (- y^{3})}{x^{2} y^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Schritt 3.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x^{3} + x (- y^{3})}{x^{2} y^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Schritt 3.9.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y x^{3} + x (- y^{3})}{y^{2} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Schritt 3.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 3.10.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{y x^{3} + x (- y^{3})}{y^{2} + y^{2} x^{2} \frac{- 1}{y^{2}}}$

Schritt 3.10.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} x^{2}$ heraus.

$\frac{y x^{3} + x (- y^{3})}{y^{2} + y^{2} (x^{2}) \frac{- 1}{y^{2}}}$

Schritt 3.10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x^{3} + x (- y^{3})}{y^{2} + y^{2} x^{2} \frac{- 1}{y^{2}}}$

Schritt 3.10.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y x^{3} + x (- y^{3})}{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $y x$ aus $y x^{3} + x (- y^{3})$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $y x$ aus $y x^{3}$ heraus.

$\frac{y x (x^{2}) + x (- y^{3})}{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $y x$ aus $x (- y^{3})$ heraus.

$\frac{y x (x^{2}) + y x (- y^{2})}{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $y x$ aus $y x (x^{2}) + y x (- y^{2})$ heraus.

$\frac{y x (x^{2} - y^{2})}{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = y$ .

$\frac{y x (x + y) (x - y)}{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{y x (x + y) (x - y)}{y^{2} - 1 \cdot x^{2}}$

Schritt 5.2

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$\frac{y x (x + y) (x - y)}{y^{2} - x^{2}}$

Schritt 5.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = x$ .

$\frac{y x (x + y) (x - y)}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + y$ und $y + x$ .

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Schritt 6.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{y x (x + y) (x - y)}{(x + y) (y - x)}$

Schritt 6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x (x + y) (x - y)}{(x + y) (y - x)}$

Schritt 6.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y x (x - y)}{y - x}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - y$ und $y - x$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{y x (- 1 (- x) - y)}{y - x}$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$\frac{y x (- 1 (- x) - (y))}{y - x}$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - (y)$ heraus.

$\frac{y x (- 1 (- x + y))}{y - x}$

Schritt 6.2.4

Stelle die Terme um.

$\frac{y x (- 1 (- x + y))}{- x + y}$

Schritt 6.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x (- 1 (- x + y))}{- x + y}$

Schritt 6.2.6

Dividiere $y x \cdot (- 1)$ durch $1$ .

$y x \cdot (- 1)$

Schritt 6.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.3.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y x$ .

$- 1 \cdot (y x)$

Schritt 6.3.2

Schreibe $- 1 (y x)$ als $- (y x)$ um.

$- y x$